Question

4．若a＞$\frac{3}{2}$，則方程$\frac{1}{4}$x³-ax²+1=0在區(qū)間（0，5）內(nèi)實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 利用參數(shù)分離法，將方程轉(zhuǎn)化為a=$\frac{1}{4}$x+$\frac{1}{{x}^{2}}$，然后構(gòu)造函數(shù)f（x）=$\frac{1}{4}$x+$\frac{1}{{x}^{2}}$，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的極值，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行判斷即可．

解答 解：由$\frac{1}{4}$x³-ax²+1=0得$\frac{1}{4}$x³+1=ax²，
當(dāng)x=0時(shí)，方程不成立，則方程等價(jià)為a=$\frac{1}{4}$x+$\frac{1}{{x}^{2}}$，
設(shè)f（x）=$\frac{1}{4}$x+$\frac{1}{{x}^{2}}$，
則f′（x）=$\frac{1}{4}$-$\frac{2}{{x}^{3}}$=$\frac{{x}^{3}-8}{4{x}^{3}}$，
由f′（x）=0得x=2，
當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)2＜x＜5時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
即當(dāng)x=2時(shí)，f（x）去掉極小值f（2）=$\frac{1}{4}$×2+$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，
則f（x）對(duì)應(yīng)的圖象為，
當(dāng)x=5時(shí)，f（5）=$\frac{1}{4}$×5+$\frac{1}{25}$=$\frac{129}{100}$＜$\frac{3}{2}$，
∴若a＞$\frac{3}{2}$，則方程$\frac{1}{4}$x³-ax²+1=0在區(qū)間（0，5）內(nèi)實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是1個(gè)，
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查方程和函數(shù)的應(yīng)用，利用參數(shù)分離法結(jié)合構(gòu)造法，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值是解決本題的關(guān)鍵．