(本題滿分16分,第1小題4分,第2小題6分,第3小題6分)
設(shè)橢圓的中心為原點O,長軸在x軸上,上頂點為A,左、右焦點分別為F1、F2,線段OF1、OF2的中點分別為B1、B2,且△AB1B2是面積為的直角三角形.過B1作直線l交橢圓于P、Q兩點.
(1) 求該橢圓的標準方程;
(2) 若,求直線l的方程;
(3) 設(shè)直線l與圓O:x2+y2=8相交于M、N兩點,令|MN|的長度為t,若t∈,求△B2PQ的面積
的取值范圍.
(1);(2)x+2y+2=0和x–2y+2=0;(3)
。
解析試題分析:(1)設(shè)所求橢圓的標準方程為,右焦點為
.
因△AB1B2是直角三角形,又|AB1|=|AB2|,故∠B1AB2=90º,得c=2b…………1分
在Rt△AB1B2中,,從而
.………………3分
因此所求橢圓的標準方程為: …………………………………………4分
(2)由(1)知,由題意知直線的傾斜角不為0,故可設(shè)直線的方程為:
,代入橢圓方程得
,…………………………6分
設(shè)P(x1, y1)、Q(x2, y2),則y1、y2是上面方程的兩根,因此,
,又
,所以
………………………………8分
由,得
=0,即
,解得
;
所以滿足條件的直線有兩條,其方程分別為:x+2y+2=0和x–2y+2=0……………………10分
(3) 當(dāng)斜率不存在時,直線,此時
,
………………11分
當(dāng)斜率存在時,設(shè)直線,則圓心
到直線的距離
,
因此t=,得
………………………………………13分
聯(lián)立方程組:得
,由韋達定理知,
,所以
,
因此.
設(shè),所以
,所以
…15分
綜上所述:△B2PQ的面積……………………………………………16分
考點:橢圓的簡單性質(zhì);圓的簡單性質(zhì);直線與橢圓的綜合應(yīng)用。
點評:直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn),主要涉及位置關(guān)系的判定,弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等.突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知圓,直線
經(jīng)過點
,
(Ⅰ)求以線段CD為直徑的圓E的方程;
(Ⅱ)若直線與圓C相交于
,
兩點,且
為等腰直角三角形,求直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
直線:
,圓
方程為
(1)求證:直線和圓相交
(2)當(dāng)圓截直線所得弦最長時,求的值
(3)直線將圓分成兩個弓形,當(dāng)弓形面積之差最大時,求直線方程
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本題12分)如圖,設(shè)P是圓x2+y2=25上的動點,點D是P在x軸上的投影,M為PD上一點,且|MD|=|PD|.
(Ⅰ)當(dāng)P在圓上運動時,求點M的軌跡C的方程;
(Ⅱ)求過點(3,0)且斜率為的直線被曲線C所截線段的長度.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分10分)已知,圓C:,直線
:
.
(1) 當(dāng)a為何值時,直線與圓C相切;
(2) 當(dāng)直線與圓C相交于A、B兩點,且
時,求直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的右焦點為F,上頂點為A,P為C
上任一點,MN是圓
的一條直徑,若與AF平行且在y軸上的截距為
的直線
恰好與圓
相切.
(Ⅰ)已知橢圓的離心率;
(Ⅱ)若的最大值為49,求橢圓C
的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,設(shè)點是圓
上的動點,過點
作圓
的兩條切線,切點分別為
,切線
分別交
軸于
兩點.
(1)求四邊形面積的最小值;
(2)是否存在點,使得線段
被圓
在點
處的切線平分?若存在,求出點
的縱坐標
;若不存在,說明理由.
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