Question

3．當(dāng)-2≤x≤1時，二次函數(shù)y=-（x-m）²+m²+1有最大值4，則實(shí)數(shù)m的值為（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2或-$\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{3}$或-$\sqrt{3}$
• D． 2或-$\sqrt{3}$或-$\frac{7}{4}$

Answer 1

分析 求出二次函數(shù)的對稱軸為x=m，再分對稱軸在區(qū)間[-2，1]的左側(cè)、中間、右側(cè)三種情況，分別根據(jù)當(dāng)-2≤x≤1時y的最大值為4，求得m的值，綜合可得結(jié)論．

解答 解：∵二次函數(shù)y=-（x-m）²+m²+1的對稱軸為x=m，-2≤x≤1，
當(dāng)m＜-2時，函數(shù)f（x）在[-2，1]上是減函數(shù)，
函數(shù)的最大值為f（-2）=-（2-m）²+1+m²=4，求得m=$\frac{7}{4}$，舍去；
當(dāng)-2≤m≤1時，函數(shù)f（x）的最大值為f（m）=1+m²=4，
求得m=-$\sqrt{3}$（$\sqrt{3}$舍去）．
當(dāng)m＞1時，函數(shù)f（x）在[-2，1]上是增函數(shù)，
函數(shù)的最大值為f（1）=-（1-m）²+1+m²=4，
求得m=2．
綜上可得，m=2或-$\sqrt{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．