Question

17．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足a=1，$\frac{sin（2A+B）}{sinA}=2（1-cosC）$．
（1）求b的值；
（2）若△ABC的面積為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求c的值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用三角函數(shù)恒等變換的應用，三角形內(nèi)角和定理可得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，結合a=1，可求b的值．
（2）利用三角形面積公式可求sinC的值，進而利用同角三角函數(shù)基本關系式可求cosC，分類討論，利用余弦定理可求c的值．

解答 解：（1）∵由已知可得：sin（2A+B）=2sinA（1-cosC），
∴sin[（A+B）+A]=2sinA-2sinAcosC，可得：sin（A+B）cosA+cos（A+B）sinA=2sinA+2sinAcos（A+B），sin（A+B）cosA-cos（A+B）sinA=2sinA，
∴sinB=2sinA，
由正弦定理得b=2a，
又a=1，
∴b=2．
（2）∵${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}×1×2sinC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$sinC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$cosC=±\frac{1}{2}$，
當$cosC=\frac{1}{2}$時，$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{{1+4-{c^2}}}{4}=\frac{1}{2}$，∴$c=\sqrt{3}$；
當$cosC=-\frac{1}{2}$時，$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{{1+4-{c^2}}}{4}=-\frac{1}{2}$，∴$c=\sqrt{7}$．
故$c=\sqrt{3}$或$c=\sqrt{7}$．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應用，三角形內(nèi)角和定理，正弦定理，三角形面積公式，同角三角函數(shù)基本關系式，余弦定理在解三角形中的應用，考查了轉化思想，屬于基礎題．