Question

9．設(shè)橢圓M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)P（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），且焦距為2．
（1）求橢圓M的方程
（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過橢圓M的左焦點(diǎn)作斜率k（k＞0）的直線l與橢圓M交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為N，直線y=a²與y軸交于點(diǎn)C，求$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{ON}$的最大值及此時(shí)直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可得c=1，由P滿足橢圓方程，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，解得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）設(shè)出直線的方程為y=k（x+1），代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得N的坐標(biāo)，由y=3，可得C的坐標(biāo)，運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和基本不等式可得最大值及此時(shí)直線的方程．

解答 解：（1）由題意可得2c=2，即c=1，a²-b²=1，
將P代入橢圓方程，可得$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{3^{2}}$=1，
解得a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$，
可得橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）過橢圓M的左焦點(diǎn)（-1，0）作斜率k（k＞0）的直線l，
設(shè)為y=k（x+1），代入橢圓方程2x²+3y²=6，
可得（2+3k²）x²+6k²x+3k²-6=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=-$\frac{6{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}$，
即有中點(diǎn)N（-$\frac{3{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}$，$\frac{2k}{2+3{k}^{2}}$），
又C（0，3），即有$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{ON}$=-$\frac{3{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}$•0+$\frac{2k}{2+3{k}^{2}}$•3
=$\frac{6k}{2+3{k}^{2}}$=$\frac{6}{\frac{2}{k}+3k}$≤$\frac{6}{2\sqrt{3k•\frac{2}{k}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)3k=$\frac{2}{k}$，即k=$\frac{\sqrt{6}}{3}$時(shí)，取得最大值$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
此時(shí)直線l的方程為y=$\frac{\sqrt{6}}{3}$（x+1）．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用點(diǎn)滿足橢圓方程，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和基本不等式求最值，屬于中檔題．