Question

13．若x=$\frac{π}{6}$是函數(shù)f（x）=sin2x+acos2x的一條對(duì)稱軸，則函數(shù)f（x）的最小正周期是π；函數(shù)f（x）的最大值是$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 利用輔助角公式化f（x）=sin2x+acos2x=$\sqrt{1+{a}^{2}}sin（2x+θ）$（tanθ=a），由已知求出θ得到a值，則函數(shù)的周期及最值可求．

解答 解：∵f（x）=sin2x+acos2x=$\sqrt{1+{a}^{2}}sin（2x+θ）$（tanθ=a），
又x=$\frac{π}{6}$是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，
∴$2×\frac{π}{6}+θ=\frac{π}{2}+kπ$，即$θ=\frac{π}{6}+kπ，k∈Z$．
則f（x）=$\sqrt{1+{a}^{2}}sin（2x+\frac{π}{6}+kπ）$．
T=$\frac{2π}{2}=π$；
由a=tanθ=tan（$\frac{π}{6}+kπ$）=tan$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
得$\sqrt{1+{a}^{2}}=\sqrt{1+（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴函數(shù)f（x）的最大值是$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$π；\frac{2}{3}\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)值的恒等變換應(yīng)用，考查了正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是中檔題．