已知橢圓、拋物線、雙曲線的離心率構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列且它們有一個(gè)公共的焦點(diǎn)(4,0),其中雙曲線的一條漸近線方程為y=
3
x,求三條曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
考點(diǎn):圓錐曲線的共同特征
專(zhuān)題:計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析:利用焦點(diǎn)(4,0),其中雙曲線的一條漸近線方程為y=
3
x,可得雙曲線方程,利用橢圓、拋物線、雙曲線的離心率構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列,所以這個(gè)等比數(shù)列的中間項(xiàng)一定是拋物線的離心率1,由等比數(shù)列性質(zhì)可得橢圓和雙曲線的離心率互為倒數(shù),因此,橢圓的離心率為
1
2
,即可求出橢圓、拋物線的方程.
解答: 解:因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在x軸上,故其方程可設(shè)為
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0.b>0)
又因?yàn)樗囊粭l漸近線方程為y=
3
x,所以
b
a
=
3
,
所以e=
1+3
=2,
因?yàn)閏=4,所以a=2,b=
3
a=2
3
,(4分)
所以雙曲線方程為
x2
4
-
y2
12
=1
=1.(6分)
因?yàn)闄E圓、拋物線、雙曲線的離心率構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列,所以這個(gè)等比數(shù)列的中間項(xiàng)一定是拋物線的離心率1,由等比數(shù)列性質(zhì)可得橢圓和雙曲線的離心率互為倒數(shù),因此,橢圓的離心率為
1
2
,(10分)
設(shè)橢圓方程為
x2
a12
+
y2
b12
=1
(a1>b1>0),則c=4,a1=8,b12=82-42=48.
所以橢圓的方程為
x2
64
+
y2
48
=1
,易知拋物線的方程為y2=16x.(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查圓錐曲線的方程,考查學(xué)生的計(jì)算能力,比較基礎(chǔ).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

某幾何體的三視圖如圖,根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸(單位:cm),可得這個(gè)幾何體的體積是( 。 
A、(4000+1000π)cm3
B、2000cm3
C、(8000-2000π)cm3
D、4000cm3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率為
6
3
,P為橢圓的上頂點(diǎn),且△PF1F2的面積為
2

(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)直線l與橢圓交于A,B兩點(diǎn),坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為
3
2
,求△AOB面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
a
2
x2-1+cosx(a>0).
(1)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)在[-
π
2
π
2
]上的最大值和最小值;
(2)若f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),求正數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a+
2x-1
2x+1
,f(-1)=-
1
3

(1)求f(x)定義域和a的值
(2)判斷f(x)奇偶性并證明
(3)證明f(x)在定義域上為增函數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}中,a1=1,b1=2,bn>0(n∈N*),且b1,a2,b2成等差數(shù)列,a2,b2,a3+2成等比數(shù)列
(1)求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式
(2)求(b1-a1)+(b2+a2)+(b3-a3)+…+[bn+(-1)nan].

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x3-bx2
(I)當(dāng)b=3時(shí),函數(shù)在(t,t+3)上既存在極大值,又有在極小值,求t的取值范圍.
(II)若g(x)=
f(x)
x
+1
對(duì)于任意的x∈[2,+∞)恒有g(shù)(x)≥0成立,求b的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知f(x)=ax3+bx2+cx的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的簡(jiǎn)圖,它與x軸的交點(diǎn)是(0,0)和(1,0),又f′(
1
2
)=
3
2

(1)求f(x)的解析式及f(x)的極大值.
(2)若在區(qū)間[0,m](m>0)上恒有f(x)≤x成立,求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
lnx
x

(Ⅰ)若F(x)=
a
x
-f(x)(a∈R),求F(x)的極小值;
(Ⅱ)若G(x)=f(x)+mx在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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