Question

已知函數(shù)f（x）=x³-bx²
（I）當(dāng)b=3時(shí)，函數(shù)在（t，t+3）上既存在極大值，又有在極小值，求t的取值范圍．
（II）若g(x)=

f(x)

x

+1對(duì)于任意的x∈[2，+∞）恒有g(shù)（x）≥0成立，求b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專(zhuān)題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）根據(jù)條件寫(xiě)出函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)，得f（x）在x=0時(shí)取得極大值，在x=2時(shí)取得極小值，函數(shù)f（x）在（t，t+3）上既能取到極大值，又能取到極小值，寫(xiě)出關(guān)于t的不等式，解出結(jié)果．
（II）寫(xiě)出要用的函數(shù)式，根據(jù)條件中的恒成立問(wèn)題，得到x²-bx+1≥0對(duì)任意的x∈[2，+∞）恒成立，看出函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)最值之間的關(guān)系寫(xiě)出結(jié)果．

解答： 解：（I）b=3時(shí)，f（x）=x³-3x²，f'（x）=3x²-6x．
由f'（x）=0得x₁=0，x₂=2…（1分）
當(dāng)-∞＜x＜0或x＞2時(shí)f'（x）＞0；0＜x＜2時(shí)f'（x）＜0
故得f（x）在x=0時(shí)取得極大值，在x=2時(shí)取得極小值，函數(shù)在（t，t+3）上既能取到最大值又能取得最小值只須t＜0且t+3＞2，即-1＜t＜0．
∴t取值范圍為（-1，0）；
（II）

f(x)

x

+1≥0對(duì)于任意的x∈[2，+∞）上恒成立
即x²-bx+1≥0對(duì)任意的x∈[2，+∞）上恒成立，
可得b≤x+

1

x

在x∈[2，+∞）上恒成立                 …（7分）
g(x)=x+

1

x

，g′(x)=1-

1

x2

=

x2-1

x2

，
∴x∈[2，+∞），g'（x）＞0，
∴g（x）在[2，+∞）上為增函數(shù)，
∴x=2時(shí)，g（x）有最小值g(2)=

5

2

∴b取值值圍為(-∞，

5

2

]…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題看出函數(shù)的極值的應(yīng)用和函數(shù)的恒成立問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是對(duì)于恒成立問(wèn)題的理解，用函數(shù)的最值思想解決恒成立問(wèn)題是常見(jiàn)的一種形式．