Question

19．已知f（e^x）=ax²-x，a∈R．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求x∈（0，1]時(shí)，f（x）的值域；
（3）設(shè)a＞0，若h（x）=[f（x）+1-a]•log_xe對任意的x₁，x₂∈[e^-3，e^-1]，總有|h（x₁）-h（x₂）|≤a+$\frac{1}{3}$恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用換元法進(jìn)行求解即可．
（2）根據(jù)函數(shù)的解析式即可求函數(shù)的值域．
（3）根據(jù)函數(shù)恒成立問題，建立不等式關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）設(shè)e^x=t，則x=lnt＞0，所以f（t）=a（lnt）²-lnt
所以f（x）=a（lnx）²-lnx（x＞0）；                                   …（3分）
（2）設(shè)lnx=m（m≤0），則f（x）=g（m）=am²-m
當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=g（m）=-m，g（m）的值域?yàn)閇0，+∞）
當(dāng)a≠0時(shí)，$f（x）=g（m）=a{m^2}-m=a{（m-\frac{1}{2a}）^2}-\frac{1}{4a}（m≤0）$
若a＞0，$\frac{1}{2a}＞0$，g（m）的值域?yàn)閇0，+∞）
若a＜0，$\frac{1}{2a}＜0$，g（m）在$（-∞，\frac{1}{2a}]$上單調(diào)遞增，在$[\frac{1}{2a}，0]$上單調(diào)遞減，g（m）的值域?yàn)?（-∞，-\frac{1}{4a}]$…（7分）
綜上，當(dāng)a≥0時(shí)f（x）的值域?yàn)閇0，+∞）
當(dāng)a＜0時(shí)f（x）的值域?yàn)?（-∞，-\frac{1}{4a}]$；                           …（8分）
（3）因?yàn)?h（x）=alnx-1+\frac{（1-a）}{lnx}$對任意${x_1}，{x_2}∈[{e^{-3}}，{e^{-1}}]$總有$|{h（{x_1}）-h（{x_2}）}|≤a+\frac{1}{3}$
所以h（x）在[e^-3，e^-1]滿足$h{（x）_{max}}-h{（x）_{min}}≤a+\frac{1}{3}$…（10分）
設(shè)lnx=s（s∈[-3，-1]），則$h（x）=r（s）=as+\frac{1-a}{s}-1$，s∈[-3，-1]
當(dāng)1-a＜0即a＞1時(shí)r（s）在區(qū)間[-3，-1]單調(diào)遞增
所以$r（-1）-r（-3）≤a+\frac{1}{3}$，即$-2-（-\frac{8}{3}a-\frac{4}{3}）≤a+\frac{1}{3}$，所以$a≤\frac{3}{5}$（舍）
當(dāng)a=1時(shí)，r（s）=s-1，不符合題意                                …（12分）
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，則$h（x）=r（s）=as+\frac{1-a}{s}-1$=a（s+$\frac{\frac{1-a}{a}}{s}$）-1，s∈[-3，-1]
若$\sqrt{\frac{1-a}{a}}≤1$即$\frac{1}{2}≤a＜1$時(shí)，r（s）在區(qū)間[-3，-1]單調(diào)遞增
所以$r（-1）-r（-3）≤a+\frac{1}{3}$，則$\frac{1}{2}≤a≤\frac{3}{5}$
若$1＜\sqrt{\frac{1-a}{a}}＜3$即$\frac{1}{10}＜a＜\frac{1}{2}$時(shí)r（s）在$[-3，-\sqrt{\frac{1-a}{a}}]$遞增，在$[-\sqrt{\frac{1-a}{a}}，-1]$遞減
所以$\left\{\begin{array}{l}r（-\sqrt{\frac{1-a}{a}}）-r（-3）≤a+\frac{1}{3}\\ r（-\sqrt{\frac{1-a}{a}}）-r（-1）≤a+\frac{1}{3}\end{array}\right.$，得$\frac{1}{10}＜a＜\frac{1}{2}$
若$\sqrt{\frac{1-a}{a}}≥3$即$0＜a≤\frac{1}{10}$時(shí)r（s）在區(qū)間[-3，-1]單調(diào)遞減
所以$r（-3）-r（-1）≤a+\frac{1}{3}$，即$-\frac{8}{3}a-\frac{4}{3}+2≤a+\frac{1}{3}$，得$\frac{1}{11}≤a＜\frac{1}{10}$…（15分）
綜上所述：$\frac{1}{11}≤a≤\frac{3}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)解析式以及函數(shù)值域和恒成立的應(yīng)用，綜合考查函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．