Question

8．已知橢圓：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦點為F₁、F₂，正△AF₁F₂的中心恰為橢圓的上頂點B，且$\overrightarrow{B{F_1}}•\overrightarrow{B{F_2}}=-2$，點M為橢圓上任一點，點N與M關(guān)于x軸對稱．
（1）求橢圓的方程；
（2）點P為橢圓上的一動點，直線PM，PN都不與坐標軸平行，且分別與x軸交于C，D兩點，從原點O作經(jīng)過點C，D兩點的圓E的切線，切點為H，判斷|OH|是否為定值，若為定值，求出定值，若不為定值，求出|OH|的范圍．

Answer 1

分析 （1）由正△AF₁F₂的中心恰為橢圓的上頂點B，且$\overrightarrow{B{F_1}}•\overrightarrow{B{F_2}}=-2$，即可求得a，b的值，則橢圓的方程可求；
（2）設(shè)P（x₀，y₀），M（x₁，y₁），N（x₁，-y₁），C（m，0）D（n，0），由題意可知mn＞0．則可設(shè)圓心E的坐標，又P、C、M三點共線，可得mn的值，把橢圓方程代入mn計算可得答案．

解答 解：（1）∵正三角形AF₁F₂的中心恰為橢圓的上頂點B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=\sqrt{3}b}\\{a=2b}\end{array}\right.$，又$\overrightarrow{B{F}_{1}}•\overrightarrow{B{F}_{2}}=-2$，
∴c²-b²=2，解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$．
∴橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）設(shè)P（x₀，y₀），M（x₁，y₁），N（x₁，-y₁），C（m，0）D（n，0）．
由題意可知mn＞0．則可設(shè)圓心E（$\frac{m+n}{2}，t$），
∵OH與圓E切于H，
∴|OH|²=|OE|²-|CE|²=$（\frac{m+n}{2}）^{2}+{t}^{2}-[（\frac{m+n}{2}-m）^{2}+{t}^{2}]=mn$，
又P、C、M三點共線，∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-m}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-m}$，得$m=\frac{{y}_{1}{x}_{0}-{y}_{0}{x}_{1}}{{y}_{1}-{y}_{0}}$，
同理可得：$n=\frac{{y}_{1}{x}_{0}+{y}_{0}{x}_{1}}{{y}_{1}+{x}_{0}}$，則$mn=\frac{{{y}_{1}}^{2}{{x}_{0}}^{2}-{{y}_{0}}^{2}{{x}_{1}}^{2}}{{{y}_{1}}^{2}-{{y}_{0}}^{2}}$．
又點M、N、P都在橢圓上，有${y}^{2}=1-\frac{{x}^{2}}{4}$，
∴$mn=\frac{（1-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}）{{x}_{0}}^{2}-（1-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}）{{x}_{1}}^{2}}{（1-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}）-（1-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}）}$=$\frac{{x}_{0}-{x}_{{1}^{2}}}{\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}}=4$．
即|OH|=2為定值．

點評 本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．