Question

14．已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是過F的直線與拋物線的兩個交點，求證：
（1）${y_1}{y_2}=-{p^2}，{x_1}{x_2}=\frac{p^2}{4}$；
（2）$\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}$為定值．

Answer 1

分析 （1）寫出拋物線的焦點坐標，設出過焦點的直線方程$x=my+\frac{p}{2}$，與拋物線方程聯(lián)立，化為關于y的一元二次方程，利用根與系數的關系可得結論；
（2）利用拋物線的焦半徑公式及（1）中的根與系數的關系證明$\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}$為定值．

解答 證明：（1）由已知得拋物線焦點坐標為$（\frac{p}{2}，0）$．
由題意可設直線方程為$x=my+\frac{p}{2}$，代入y²=2px，得${y^2}=2p（my+\frac{p}{2}）$，即y²-2pmy-p²=0，①
則y₁，y₂是方程①的兩個實數根，∴${y_1}{y_2}=-{p^2}$，
∵${y_1}^2=2p{x_1}，{y_2}^2=2p{x_2}$，∴${y_1}^2{y_2}^2=4{p^2}{x_1}{x_2}$，
∴${x_1}{x_2}=\frac{{{y_1}^2{y_2}^2}}{{4{p^2}}}=\frac{p^4}{{4{p^2}}}=\frac{p^2}{4}$；
（2）$\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}=\frac{1}{{{x_1}+\frac{p}{2}}}+\frac{1}{{{x_2}+\frac{p}{2}}}=\frac{{{x_1}+{x_2}+p}}{{{x_1}{x_2}+\frac{p}{2}（{x_1}+{x_2}）+\frac{p^2}{4}}}$，
∵${x_1}{x_2}=\frac{p^2}{4}，{x_1}+{x_2}=|AB|-p$，代入上式，
得$\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}=\frac{|AB|}{{\frac{P^2}{4}+\frac{P}{2}（|AB|-p）+\frac{p^2}{4}}}=\frac{2}{p}$（定值）．

點評 本題考查拋物線的簡單性質，考查了過拋物線焦點的直線與拋物線位置關系的應用，是中檔題．