Question

4．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某個四面體的三視圖，則該四面體的表面積為（　　）

• A． 8+8$\sqrt{2}$+4$\sqrt{6}$
• B． 8+8$\sqrt{2}$+2$\sqrt{6}$
• C． 2+2$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$
• D． $\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{6}}{4}$

Answer 1

分析 由三視圖可知幾何體為從邊長為4的正方體切出來的三棱錐．作出直觀圖，計算各棱長求面積．

解答 解：由三視圖可知幾何體為從邊長為4的正方體切出來的三棱錐A-BCD．作出直觀圖如圖所示：
其中A，C，D為正方體的頂點，B為正方體棱的中點．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×2×4$=4，S_△BCD=$\frac{1}{2}×2×4$=4．
∵AC=4$\sqrt{2}$，AC⊥CD，∴S_△ACD=$\frac{1}{2}×4×4\sqrt{2}$=8$\sqrt{2}$，
由勾股定理得AB=BD=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，AD=4$\sqrt{3}$．
∴cos∠ABD=$\frac{A{B}^{2}+B{D}^{2}-A{D}^{2}}{2AB•BD}$=-$\frac{1}{5}$，∴sin∠ABD=$\frac{2\sqrt{6}}{5}$．
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×2\sqrt{5}×\frac{2\sqrt{6}}{5}$=4$\sqrt{6}$．
∴幾何體的表面積為8+8$\sqrt{2}$+4$\sqrt{6}$．
故選A．

點評 本題考查了不規(guī)則放置的幾何體的三視圖和面積計算，作出直觀圖是解題關(guān)鍵．