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求下列函數的值域和最值:

(1)y=2sinx-1;

(2)y=3sin(3x+)+2;

(3)y=2cos2x+5sinx-4;

(4)y=.

思路分析:利用|sinx|≤1,通過變量代換轉化為基本函數.

解：(1)∵-1≤sinx≤1,

∴-2≤2sinx≤2.故-3≤2sinx-1≤1.

當x=2kπ+(k∈Z)時,y有最大值1;

當x=2kπ-(k∈Z)時,y有最小值-3.值域為［-3,1］.

(2)u=3x+,則有y=3sinu+2,

∴值域為［-1,5］.

當u=2kπ+(k∈Z),即x=kπ+(k∈Z)時,y有最大值5.

當u=2kπ-(k∈Z),即x=kπ-(k∈Z)時,y有最小值-1.

(3)設sinx=u,則|u|≤1,y=2cos2x+5sinx-4=2-2sin2x+5sinx-4=-2u2+5u-2.①

問題轉化為在定義域［-1,1］內求二次函數①的值域問題.配方,有y=-2(u-)2+,

∵-1≤u≤1,

∴當u=-1,即x=2kπ-(k∈Z)時,y有最小值-9;當u=1,即x=2kπ+(k∈Z)時,y有最大值1.

∴函數y的值域為［-9,1］.

(4)原函數可化為y=,即y=1-.

∵1≤sinx+2≤3,

∴≤≤1,

1≤≤3,-3≤≤-1.

故-2≤1≤0.

∴函數y的值域為［-2,0］,并且當x=2kπ+時,y=0;當x=2kπ-時,y=-2.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=ax2-2
4+2b-b2
x，g(x)=-
1-(x-a)2
（a，b∈R）．
（1）當b=0時，若f（x）在（-∞，2]上單調遞減，求a的取值范圍；
（2）求滿足下列條件的所有整數對（a，b）：存在x0，使得f（x0）是f（x）的最大值，g（x0）是g（x）的最小值；
（3）對滿足（2）中的條件的整數對（a，b），奇函數h（x）的定義域和值域都是區(qū)間[-k，k]，且x∈[-k，0]時，h（x）=f（x），求k的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

對于任意實數x，符號[x]表示不超過x的最大整數，如[4.3]=4、[-2.3]=-3、[4]=4，函數f（x）=[x]叫做“取整函數”，也叫做高斯（Gauss）函數．這個函數在數學本身和生產實踐中都有廣泛的應用．
從函數f（x）=[x]的定義可以得到下列性質：x-1＜[x]≤x＜[x+1]；與函數f（x）=[x]有關的另一個函數是g（x）={x}，它的定義是{x}=x-[x]，函數g（x）={x}叫做“取零函數”，這也是一個常用函數．
（1）寫出f（5.2）的值及g（x）的值域；
（2）若F（n）=f（log2n）（1≤n≤210，n∈N），寫出F（x）的解析式；
（3）求F（1）+F（2）+F（3）+…+F（16）的值．

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年廣西北海市合浦七中高一（上）期中數學試卷（解析版） 題型：解答題

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從函數f（x）=[x]的定義可以得到下列性質：x-1＜[x]≤x＜[x+1]；與函數f（x）=[x]有關的另一個函數是g（x）={x}，它的定義是{x}=x-[x]，函數g（x）={x}叫做“取零函數”，這也是一個常用函數．
（1）寫出f（5.2）的值及g（x）的值域；
（2）若F（n）=f（log2n）（1≤n≤210，n∈N），寫出F（x）的解析式；
（3）求F（1）+F（2）+F（3）+…+F（16）的值．

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(1)y=2sinx-1;

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(3)y=2cos2x+5sinx-4;

(4)y=.

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