Question

已知銳角△ABC中，AD是高，O是外心，AO的延長線交過O、B、C三點(diǎn)的圓于P，自P作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．求證：DEPF是平行四邊形．

Answer 1

考點(diǎn)：向量在幾何中的應(yīng)用,平行向量與共線向量

專題：證明題

分析：先證△ADC∽△AEP，從而可得△ADC∽△ACP，則DE：CP=AD：AC=sin∠ACD，又∠PCF=∠ACD，則sin∠PCF=sin∠ACD=PF：CP，所以DE：CP=PF：CP，則DE=PF，同理可證，DF=PE，從而可證得．

解答： 證明：如圖所示，∵∠DAC是∠ACD的余角，
又∠BOA=2∠ACD，O是外心，
∴∠BAO也與∠ACD互余，
∴∠DAC=∠BAO，又∠ADC=∠AEP，
所以△ADC∽△AEP，∴AD：AE=AC：AP，
∴△ADC∽△ACP，
∴DE：CP=AD：AC=sin∠ACD，
又∠PCF=∠ACD，∴sin∠PCF=sin∠ACD=PF：CP，
∴DE：CP=PF：CP，∴DE=PF，同理可證，DF=PE，∴DEPF是平行四邊形．

點(diǎn)評：本題主要考查了平面幾何知識，以及三角形相似的應(yīng)用，同時(shí)考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，以及運(yùn)算求解的能力．