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【題目】已知橢圓的上頂點為，且過點．

（1）求橢圓的方程及其離心率；

（2）斜率為的直線與橢圓交于兩個不同的點，當直線的斜率之積是不為0的定值時，求此時的面積的最大值．

【答案】（1），；（2）1

【解析】

試題（1）由題意易得，將點代入到橢圓方程可得的值，即可得橢圓的方程及其離心率；（2）設直線的方程為，聯立直線與橢圓的方程，運用韋達定理，將化簡為，根據其為定值得的值，然后利用弦長公式將表示為關于的函數，利用二次函數的性質可得結果.

試題解析：（1）由題意可得．

又在橢圓上，所以，解得，

所以橢圓的方程為，

所以，故橢圓的離心率.

（2）設直線的方程為．

由，消去，得，

所以，

設，則． ，

由題意，為定值，所以，即，解得．

此時

， 點到直線的距離．

．

顯然，當（此時，滿足），即時，取得最大值，最大值為．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數。

（I）當時，證明：當時，；

（II）若當時，恒成立，求a的取值范圍。

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】三棱柱中，平面，是邊長為的等邊三角形，為邊中點，且.

(1)求證：平面平面；

(2)求證：平面；

(3)求三棱錐的體積.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在含有個元素的集合中，若這個元素的一個排列（，，…，）滿足，則稱這個排列為集合的一個錯位排列（例如：對于集合，排列是的一個錯位排列；排列不是的一個錯位排列）.記集合的所有錯位排列的個數為.

（1）直接寫出，，，的值；

（2）當時，試用，表示，并說明理由；

（3）試用數學歸納法證明：為奇數.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知圓的圓心為原點，且與直線相切.

（1）求圓的方程；

（2）點在直線上，過點引圓的兩條切線，，切點為，，求證：直線恒過定點.

（3）求的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】假設關于某設備的使用年限x和所支出的維修費用y（萬元）有如下的統計資料：

使用年限x

2

3

4

5

6

維修費用y

2.2

3.8

5.5

6.5

7.0

若由資料知y對x呈線性相關關系.

（1）請畫出上表數據的散點圖；

（2）請根據最小二乘法求出線性回歸方程的回歸系數a，b；

（3）估計使用年限為10年時，維修費用是多少？

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，D是AC的中點，四邊形BDEF是菱形，平面平面ABC，，，．

若點M是線段BF的中點，證明：平面AMC；

求平面AEF與平面BCF所成的銳二面角的余弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線：，不過坐標原點的直線交于，兩點.

（Ⅰ）若，證明：直線過定點；

（Ⅱ）設過且與相切的直線為，過且與相切的直線為.當與交于點時，求的方程.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數.

（1）求函數的單調區(qū)間；

（2）記函數的極值點為，若，且，求證：

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