【題目】已知橢圓的上頂點為,且過點.
(1)求橢圓的方程及其離心率;
(2)斜率為的直線與橢圓交于兩個不同的點,當(dāng)直線的斜率之積是不為0的定值時,求此時的面積的最大值.
【答案】(1),;(2)1
【解析】
試題(1)由題意易得,將點代入到橢圓方程可得的值,即可得橢圓的方程及其離心率;(2)設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線與橢圓的方程,運用韋達定理,將化簡為,根據(jù)其為定值得的值,然后利用弦長公式將表示為關(guān)于的函數(shù),利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果.
試題解析:(1)由題意可得.
又在橢圓上,所以,解得,
所以橢圓的方程為,
所以,故橢圓的離心率.
(2)設(shè)直線的方程為.
由,消去,得,
所以,
設(shè),則. ,
由題意,為定值,所以,即,解得.
此時
, 點到直線的距離.
.
顯然,當(dāng)(此時,滿足),即時,取得最大值,最大值為.
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【題目】已知函數(shù)。
(I)當(dāng)時,證明:當(dāng)時,;
(II)若當(dāng)時,恒成立,求a的取值范圍。
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【題目】在含有個元素的集合中,若這個元素的一個排列(,,…,)滿足,則稱這個排列為集合的一個錯位排列(例如:對于集合,排列是的一個錯位排列;排列不是的一個錯位排列).記集合的所有錯位排列的個數(shù)為.
(1)直接寫出,,,的值;
(2)當(dāng)時,試用,表示,并說明理由;
(3)試用數(shù)學(xué)歸納法證明:為奇數(shù).
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【題目】已知圓的圓心為原點,且與直線相切.
(1)求圓的方程;
(2)點在直線上,過點引圓的兩條切線,,切點為,,求證:直線恒過定點.
(3)求的取值范圍.
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【題目】假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費用y(萬元)有如下的統(tǒng)計資料:
使用年限x | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
維修費用y | 2.2 | 3.8 | 5.5 | 6.5 | 7.0 |
若由資料知y對x呈線性相關(guān)關(guān)系.
(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖;
(2)請根據(jù)最小二乘法求出線性回歸方程的回歸系數(shù)a,b;
(3)估計使用年限為10年時,維修費用是多少?
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【題目】如圖,D是AC的中點,四邊形BDEF是菱形,平面平面ABC,,,.
若點M是線段BF的中點,證明:平面AMC;
求平面AEF與平面BCF所成的銳二面角的余弦值.
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【題目】已知拋物線:,不過坐標(biāo)原點的直線交于,兩點.
(Ⅰ)若,證明:直線過定點;
(Ⅱ)設(shè)過且與相切的直線為,過且與相切的直線為.當(dāng)與交于點時,求的方程.
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【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)記函數(shù)的極值點為,若,且,求證:
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