Question

【題目】在含有個(gè)元素的集合中，若這個(gè)元素的一個(gè)排列（，，…，）滿足，則稱這個(gè)排列為集合的一個(gè)錯(cuò)位排列（例如：對(duì)于集合，排列是的一個(gè)錯(cuò)位排列；排列不是的一個(gè)錯(cuò)位排列）.記集合的所有錯(cuò)位排列的個(gè)數(shù)為.

（1）直接寫出，，，的值；

（2）當(dāng)時(shí)，試用，表示，并說(shuō)明理由；

（3）試用數(shù)學(xué)歸納法證明：為奇數(shù).

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）見(jiàn)解析

【解析】

試題（1）根據(jù)定義列錯(cuò)位排列，根據(jù)錯(cuò)位排列的個(gè)數(shù)得，，，的值；（2）根據(jù)定義理解，，三者關(guān)系，需先確定兩類，有兩個(gè)數(shù)恰好錯(cuò)排與這兩個(gè)數(shù)不錯(cuò)排，再降數(shù)處理，（3）先根據(jù)遞推關(guān)系得對(duì)任意正奇數(shù)，有均為偶數(shù)，再利用以及歸納假設(shè)得結(jié)論.

試題解析：（1），，，，

（2），理由如下：

對(duì)的元素的一個(gè)錯(cuò)位排列（，，…，），若，分以下兩類：

若，這種排列是個(gè)元素的錯(cuò)位排列，共有個(gè)；

若，這種錯(cuò)位排列就是將，，…，，，…，排列到第到第個(gè)位置上，不在第個(gè)位置，其他元素也不在原先的位置，這種排列相當(dāng)于個(gè)元素的錯(cuò)位排列，共有個(gè)；

根據(jù)的不同的取值，由加法原理得到；

（3）根據(jù)（2）的遞推關(guān)系及（1）的結(jié)論，均為自然數(shù)；

當(dāng)，且為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，從而為偶數(shù)，

又也是偶數(shù)，

故對(duì)任意正奇數(shù)，有均為偶數(shù).

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明（其中）為奇數(shù).當(dāng)時(shí)，為奇數(shù)；

假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，即是奇數(shù)，則當(dāng)時(shí)，，注意到為偶數(shù)，又是奇數(shù)，所以為奇數(shù)，又為奇數(shù)，所以，即結(jié)論對(duì)也成立；

根據(jù)前面所述，對(duì)任意，都有為奇數(shù).