Question

已知以y=±

3

x為漸近線的雙曲線D：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0 ，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，若P為雙曲線D右支上任意一點(diǎn)，則

|PF1|-|PF2|

|PF1|+|PF2|

的取值范圍是

（0，

1

2

]

．

Answer 1

分析：根據(jù)雙曲線D的漸近線是y=±

3

x，得到b=

3

a，從而c=

a2+b2

=2a．再由P為雙曲線D右支上一點(diǎn)，得到|PF₁|-|PF₂|=2a，結(jié)合|PF₁|+|PF₂|≥|F₁F₂|，代入式子

|PF1|-|PF2|

|PF1|+|PF2|

，即可得到要求的取值范圍．

解答：解：∵雙曲線D：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0 ，b＞0)的漸近線是y=±

3

x，
∴

b

a

=

3

，可得b=

3

a，c=

a2+b2

=2a
∵P為雙曲線D右支上一點(diǎn)，
∴|PF₁|-|PF₂|=2a
而|PF₁|+|PF₂|≥|F₁F₂|=2c
∴0＜

|PF1|-|PF2|

|PF1|+|PF2|

≤

2a

2c

=

a

c

∵c=2a，可得

a

c

=

1

2

∴

|PF1|-|PF2|

|PF1|+|PF2|

的取值范圍是（0，

1

2

]
故答案為：（0，

1

2

]

點(diǎn)評(píng)：本題給出雙曲線的漸近線方程，求它的離心率，并求其右支上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離差與距離之和的比值的取值范圍，著重考查了雙曲線的基本概念和不等式的基本性質(zhì)，屬于中檔題．