Question

18．設(shè)函數(shù)f（x）=-x³+6ax²-9a²x+3，0＜a＜1．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）記函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若x∈[1-a，1+a]時(shí)，恒有|f′（x）|≤3a成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合f′（x）＞0，f′（x）＜0，f′（x）=0可求解
（2）由題意可得-a≤-x²+4ax-3a²≤a在[1-a，1+a]恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱軸x=2a與區(qū)間[1-a，1+a]與的位置分類討論進(jìn)行求解．

解答 解：（1）f′（x）=-3x²+12ax-9a²，且0＜a＜1，
當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，得a＜x＜3a；
當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，得x＜a或x＞3a；
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（a，3a）；
f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，a）和（3a，+∞）．
（2）f′（x）=-3x²+12ax-9a²=3[-（x-2a）²+a²]，
令g（x）=-（x-2a）²+a²，
①當(dāng)2a≤1-a時(shí)，即0＜a≤$\frac{1}{3}$時(shí)，f′（x）在區(qū)間[1-a，1+a]內(nèi)單調(diào)遞減．
∴[g（x）]_max=g（1-a）=-24a²+18a-3，[g（x）]_min=f′（1+a）=6a-3．
∵|f′（x）|≤3a，
∴-a≤g（x）≤a，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-{8a}^{2}+6a-1≤a}\\{2a-1≥-a}\end{array}\right.$，
∴a≥$\frac{1}{3}$，
此時(shí)，a=$\frac{1}{3}$．
②當(dāng)2a＞1-a，且2a＜a+1時(shí)，即$\frac{1}{3}$＜a＜1，[g（x）]_max=g（2a）=a²．
∵-a≤g（x）≤a，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（1+a）≥-a}\\{g（1-a）≥-a}\\{g（2a）≤a}\end{array}\right.$，
即 $\left\{\begin{array}{l}{2a-1≥-a}\\{-{8a}^{2}+6a-1≥-a}\\{{a}^{2}≤a}\end{array}\right.$，
∴$\frac{1}{3}$≤a≤$\frac{7+\sqrt{17}}{16}$．
此時(shí)，$\frac{1}{3}$＜a≤$\frac{7+\sqrt{17}}{16}$，
③當(dāng)2a≥1+a時(shí)，得a≥1與已知0＜a＜1矛盾，
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[$\frac{1}{3}$，$\frac{7+\sqrt{17}}{16}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用及二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，（2）的求解的關(guān)鍵是要對(duì)二次函數(shù)的對(duì)稱軸相對(duì)區(qū)間的位置分類討論，體現(xiàn)了分類討論的思想在解題中的應(yīng)用．