【題目】個人聚會,已知:

(1)每個人至少同其中個人互相認識;

(2)對于其中任意個人,或者其中有2人相識,或者余下的人中有2人相識,證明:這個人中必有3人兩兩相識.

【答案】見解析

【解析】

假設這個人中無3人彼此相識.

,是這個人中相識的2人,由反證假設可推出余下的個人中,無1人與,皆相識.因此,至少有個不同的人,其中每個人或同相識,或同相識.

為偶數(shù)時,由上述討論可知,這個人中恰有一半人與相識,而另一半人則與相識.于是,由題設可推出在某一半人中必含2個相識的人.這與反證假設矛盾.

為奇數(shù)時,.若這幾個人中每人與相識,則與上述討論類似,可推出矛盾.

不然,存在他同,皆不相識,于是,個人中除之外的個人中必有一半與相識,另一半與相識.所有相識的人互不相識,所有與相識的人也互不相識.

假設有個人同,皆相識,個人同皆相識,不難由題設推出,并且這個人構(gòu)成與相識的人的全部.因而,.不妨設,由可知.

皆相識,,皆相識(如圖),由于個人中同相識的人至少為個,他們中除外同都相識,故必與,之一相識.不妨設相識,則,是彼此相識的人,此與反證假設相矛盾.因此命題為真.

練習冊系列答案
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