【題目】如圖,已知點列、、)依次為函數(shù)圖像上的點,點列、、)依次為軸正半軸上的點,其中),對于任意,點、、構(gòu)成一個頂角的頂點為的等腰三角形.

1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列;

2)證明:為常數(shù),并求出數(shù)列的前項和

3)在上述等腰三角形中,是否存在直角三角形?若存在,求出值,若不存在,請說明理由.

【答案】1)證明見解析(2)證明見解析;3)存在;的值為,,

【解析】

1)利用點列為函數(shù)圖像上的點,可求出的通項公式,進而可證明結(jié)論;

2是等腰三角形,可得,兩式相減可得到,進而可求得數(shù)列的前項和;

3)要使為直角三角形,可得,結(jié)合數(shù)列的通項公式,分類討論可求得的值.

1)點列、、)依次為函數(shù)圖像上的點,所以,,.

故數(shù)列是等差數(shù)列;

2是等腰三角形,可得,相減可得,為常數(shù).

,,,,

因為,所以數(shù)列的奇數(shù)項可以構(gòu)成一個以為首項,公差為2的等差數(shù)列,

數(shù)列的偶數(shù)項可以構(gòu)成一個以為首項,公差為2的等差數(shù)列,

為奇數(shù)時,,為偶數(shù)時,,

則數(shù)列的前項和.

3)要使為直角三角形,則,,

為奇數(shù)時,,,,

,為奇數(shù),

,,,,,不符合題意.

為偶數(shù)時,,,,

,,,不符合題意.

綜上所述,存在直角三角形,此時的值為.

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