Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；

（2）若有兩個零點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ．

【解析】試題分析：(1) 求出，由可求出切線的斜率，根據(jù)點斜式即可求得切線方程；(2)討論兩種情況，當(dāng)時，顯然在上單調(diào)遞增，至多一個零點，不符合題意，當(dāng)時，可證明：當(dāng)時，有兩個零點.即的取值范圍是.

試題解析：（1）

（2）

①當(dāng)時，顯然在上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時，令，則，易知其判別式為正，

設(shè)方程的兩個根分別為，則，

令得，其中，

所以函數(shù)在上遞增，在上遞減.

①當(dāng)時，顯然在上單調(diào)遞增，至多一個零點，不符合題意；

②當(dāng)時，函數(shù)在上遞增，在上遞減，

要使有兩個零點，必須，即，

又由得：，代入上面的不等式得：

，解得

下面證明：當(dāng)時，有兩個零點.

，

又，

且，

，

所以在與上各有一個零點.

【方法點晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與零點，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即在點 出的切線斜率（當(dāng)曲線在處的切線與軸平行時，在 處導(dǎo)數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點斜式求得切線方程.