已知拋物線C:x2=
12
y
和定點(diǎn)P(1,2),A、B為拋物線C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且直線PA和PB的斜率為非零的互為相反數(shù).
(I)求證:直線AB的斜率是定值;
(II)若拋物線C在A、B兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)M,求M的軌跡方程;
(III)若A′與A關(guān)于y軸成軸對(duì)稱,求直線A′B與y軸交點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值范圍.
分析:(I)設(shè)點(diǎn)A(xA,yA),B(xB,yB)(xA≠xB),直線PA的斜率為k(k≠0),則直線PB的斜率為-k,直線PA的方程為y-2=k(x-1),由
y-2=k(x-1)
y=2x2
消y,得2x2-kx+k-2=0,再由韋達(dá)定理可以證明直線AB的斜率是定值;
(II)設(shè)點(diǎn)M(x,y)由y=2x2,得y'=4x,所以直線MA的方程為:y-yA=4xA(x-xA),同理可得直線MB的方程,所以x=-
yA-yB
4(xA-xB)
+xA+xB=-1
,由此能求出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.
(III)由已知,A′(
-k+2
2
,
k2
2
-2k+2)
,所以kA'B=-2k,則直線A'B的方程為y-yB=kA'B(x-xB),由此能求出交點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值范圍.
解答:解:(I)設(shè)點(diǎn)A(xA,yA),B(xB,yB)(xA≠xB),直線PA的斜率為k(k≠0),
則直線PB的斜率為-k,直線PA的方程為y-2=k(x-1),
y-2=k(x-1)
y=2x2
消y,得2x2-kx+k-2=0,
因?yàn)辄c(diǎn)P在曲線C上,
所以由韋達(dá)定理得xAxP=xA=
k-2
2
,yA=2+k(xA-1)=
k2
2
-2k+2

所以A(
k-2
2
k2
2
-2k+2)
,同理B(
-k-2
2
,
k2
2
+2k+2
),(2分)
kAB=
yA-yB
xA-xB
=
(
k2
2
+2k+2)-(
k2
2
-2k+2)
-k-2
2
-
k-2
2
=-4
(4分)
或由xA=
k-2
2
,同理xB=
-k-2
2
,(2分)
xA+xB=
k-2
2
+
-k-2
2
=-2
,
又yA=2xA2,yB=2xB2,
∴yA-yB=2(xA+xB)(xA-xB),又xA≠xB,
kAB=
yA-yB
xA-xB
=2(xA+xB)=2×(-2)=-4
.(4分)

(II)設(shè)點(diǎn)M(x,y)由y=2x2,得y'=4x,
所以直線MA的方程為:y-yA=4xA(x-xA),①
同理直線MB的方程為:y-yB=4xB(x-xB),②
由①②,得x=-
yA-yB
4(xA-xB)
+xA+xB=-1
,③(6分)
把③代入①整理,得y=2-
1
2
k2<2

所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x=-1(y<2且y≠-6.(8分)

(III)由已知,A′(
-k+2
2
k2
2
-2k+2)
,所以kA'B=-2k,
則直線A'B的方程為y-yB=kA'B(x-xB),
即y-yB=-2k(x-xB),(10分)
令x=0整理,得y=-
k2
2
+2<2

點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值范圍是(-∞,-6)∪(-6,2).(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查圓錐曲線和直線的位置關(guān)系和應(yīng)用,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意挖掘隱含條件,合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知拋物線C:x2=2py(p>0),其焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為
12

(1)試求拋物線C的方程;
(2)設(shè)拋物線C上一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t(t>0),過P的直線交C于另一點(diǎn)Q,交x軸于M,過點(diǎn)Q作PQ的垂線交C于另一點(diǎn)N,若MN是C的切線,求t的最小值.

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已知拋物線C:x2=2py,過點(diǎn)A(0,4)的直線l交拋物線C于M,N兩點(diǎn),且OM⊥ON.
(1)求拋物線C的方程;
(2)過點(diǎn)N作y軸的平行線與直線y=-4相交于點(diǎn)Q,若△MNQ是等腰三角形,求直線MN的方程.K.

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已知拋物線C:x2=ay(a>0),斜率為k的直線l經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F,交拋物線于A,B兩點(diǎn),且拋物線上一點(diǎn)M(2
2
 , m) (m>1)
到點(diǎn)F的距離是3.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)若k>0,且
AF
=3
FB
,求k的值.
(Ⅲ)過A,B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線,這兩條切線的交點(diǎn)為點(diǎn)Q,求證:
AB
 • 
FQ
=0

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已知拋物線C:x2=2my(m>0)和直線l:y=x-m沒有公共點(diǎn)(其中m為常數(shù)).動(dòng)點(diǎn)P是直線l上的任意一點(diǎn),過P點(diǎn)引拋物線C的兩條切線,切點(diǎn)分別為M、N,且直線MN恒過點(diǎn)Q(1,1).
(1)求拋物線C的方程;
(2)已知O點(diǎn)為原點(diǎn),連接PQ交拋物線C于A、B兩點(diǎn),求
|PA|
|
PB|
-
|
QA|
|
QB|
的值.

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