已知拋物線C:x2=2my(m>0)和直線l:y=x-m沒(méi)有公共點(diǎn)(其中m為常數(shù)).動(dòng)點(diǎn)P是直線l上的任意一點(diǎn),過(guò)P點(diǎn)引拋物線C的兩條切線,切點(diǎn)分別為M、N,且直線MN恒過(guò)點(diǎn)Q(1,1).
(1)求拋物線C的方程;
(2)已知O點(diǎn)為原點(diǎn),連接PQ交拋物線C于A、B兩點(diǎn),求
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|
PB|
-
|
QA|
|
QB|
的值.
分析:(1)對(duì)C的函數(shù)求導(dǎo)數(shù),設(shè)出兩個(gè)切點(diǎn)的坐標(biāo),求出導(dǎo)函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值即切線的斜率,利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線
PM,PN 的方程,將P的坐標(biāo)代入得到MN的方程,據(jù)直線的點(diǎn)斜式判斷出MN過(guò)的定點(diǎn),據(jù)已知求出拋物線C的方程.
(2)設(shè)出直線PQ的方程,將直線方程與拋物線方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理得解.
解答:解:(1)如圖,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2
由y=
x2
2m
,得y′=
x
m
,∴PM的斜率為
x1
m
,PM的方程為y=
x1
m
x-y1
同理得PN:y=
x2
m
x-y2,
設(shè)P(x0,y0)代入上式得 y0=
x1
m
x0-y1,y0=
x2
m
x0-y2
即(x1,y1),(x2,y2)滿足方程y0=
x
m
x0-y                          
故MN的方程為y=
x0
m
x-y0=
x0
m
x-(x0-m)
上式可化為y-m=
x0
m
(x-m),過(guò)交點(diǎn)(m,m)
∵M(jìn)N過(guò)交點(diǎn)Q(1,1),
∴m=1
∴拋物線C的方程為x2=2y
(2)設(shè)A(x3,y3),B(x4,y4
|PA|
|
PB|
-
|
QA|
|
QB|
=
2x3x4-(1+x0)(x3+x4)+2kx0
(x4-x0)(x4-1)
…(Ⅰ)
∵P(x0,y0),Q(1,1)
∴PQ直線方程為y-1=
y0-1
x0-1
(x-1),
與x2=2y聯(lián)立化簡(jiǎn)x2-
2y0-2
x0-1
x+
2y0-2
x0-1
-2=0
∴x3x4=
2y0-2x0
x0-1
…①,x3+x4=
2y0-2
x0-1
…②
把①②代入(Ⅰ)式中,
則分子2x3x4-(1+x0)(x3+x4)+2kx0=
4y0-2(y0-1)(1+x0)
+x
2
0
-6x0
x0-1
…(Ⅱ)
又P點(diǎn)在直線y=kx-1上,
∴y0=kx0-1代入(Ⅱ)中得:2x3x4-(1+x0)(x3+x4)+2kx0=0
|PA|
|
PB|
-
|
QA|
|
QB|
=
2x3x4-(1+x0)(x3+x4)+2kx0
(x4-x0)(x4-1)
=0
點(diǎn)評(píng):解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題,一般是設(shè)出直線方程,將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立,消去一個(gè)未知數(shù),得到關(guān)于一個(gè)未知數(shù)的二次方程,然后利用韋達(dá)定理找突破口.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知拋物線C:x2=2py(p>0),其焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為
12

(1)試求拋物線C的方程;
(2)設(shè)拋物線C上一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t(t>0),過(guò)P的直線交C于另一點(diǎn)Q,交x軸于M,過(guò)點(diǎn)Q作PQ的垂線交C于另一點(diǎn)N,若MN是C的切線,求t的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知拋物線C:x2=
12
y
和定點(diǎn)P(1,2),A、B為拋物線C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且直線PA和PB的斜率為非零的互為相反數(shù).
(I)求證:直線AB的斜率是定值;
(II)若拋物線C在A、B兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)M,求M的軌跡方程;
(III)若A′與A關(guān)于y軸成軸對(duì)稱,求直線A′B與y軸交點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知拋物線C:x2=2py,過(guò)點(diǎn)A(0,4)的直線l交拋物線C于M,N兩點(diǎn),且OM⊥ON.
(1)求拋物線C的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)N作y軸的平行線與直線y=-4相交于點(diǎn)Q,若△MNQ是等腰三角形,求直線MN的方程.K.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知拋物線C:x2=ay(a>0),斜率為k的直線l經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F,交拋物線于A,B兩點(diǎn),且拋物線上一點(diǎn)M(2
2
 , m) (m>1)
到點(diǎn)F的距離是3.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)若k>0,且
AF
=3
FB
,求k的值.
(Ⅲ)過(guò)A,B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線,這兩條切線的交點(diǎn)為點(diǎn)Q,求證:
AB
 • 
FQ
=0

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