Question

已知，函數(shù)f（x）=

1

2

x²-alnx．
（1）求f（x）的單調區(qū)間； 
（2）當a=-1且x∈（1，+∞）時，證明：f（x）＜

2

3

x³-

1

6

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求導函數(shù)，再分類討論：a≤0時，a＞0時，由此可確定f（x）的單調區(qū)間；
（2）設g（x）=

2

3

x³-

1

6

．分別求出函數(shù)的f（x）的最大值和g（x）最小值即可得以證明．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=

1

2

x²-alnx的定義域為（0，+∞）
∴f′（x）=x-

a

x

=

x2-a

x

．
①當a≤0時，f′（x）＞0恒成立，此時f（x）的單調遞增區(qū)間為（0，+∞），
②當a＞0時，令f′（x）=0，解得x=

a

，
當f′（x）＞0，即x＞

a

時，函數(shù)f（x）單調遞增，
當f′（x）＜0，即0＜x＜

a

時，函數(shù)f（x）單調遞減，
綜上所述，當a≤0時，函數(shù)f（x）的在（0，+∞）上為增函數(shù)，
當a＞0時，函數(shù)f（x）的在（

a

，+∞）上為增函數(shù)，在（0，

a

）為減函數(shù)．
（2）當a=-1，
∴f（x）=

1

2

x²+lnx，
由（1）知函數(shù)f（x）在（1，+∞）為減函數(shù)，
∴f（x）＜f（1）=

1

2

設g（x）=

2

3

x³-

1

6

．
∵g（x）在（1，+∞）為增函數(shù)，
∴g（x）＞g（1）=

1

2

，
故f（x）＜

2

3

x³-

1

6

．

點評：本題考查導數(shù)與函數(shù)的單調性以及函數(shù)的最值，以及不等式的證明，屬于中檔題．