Question

【題目】已知定直線l：y=x+3，定點(diǎn)A（2，1），以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓C過點(diǎn)A且與l相切．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）橢圓的弦AP，AQ的中點(diǎn)分別為M，N，若MN平行于l，則OM，ON斜率之和是否為定值？若是定值，請(qǐng)求出該定值；若不是定值請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n） 橢圓C過點(diǎn)A，所以4m+n①，
將y=x+3代入橢圓方程化簡得：（m+n）x2+6nx+9n﹣1=0，
因?yàn)橹本�l與橢圓C相切，所以△=（6n）2﹣4（m+n）（9n﹣1）=0②，
解①②可得， ，
所以橢圓方程為 ；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），則有 ，
由題意可知PQ∥MN，所以kPQ=kMN=1，設(shè)直線PQ的方程為y=x+t，
代入橢圓方程并化簡得：3x2+4tx+2t2﹣6=0
由題意可知 ③

通分后可變形得到
將③式代入分子
所以O(shè)M，ON斜率之和為定值0
【解析】（Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），橢圓C過點(diǎn)A，所以4m+n①，將y=x+3代入橢圓方程化簡得：（m+n）x2+6nx+9n﹣1=0，由△=（6n）2﹣4（m+n）（9n﹣1）=0②， 可得， ，即可得橢圓方程．（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），可知PQ∥MN，所以kPQ=kMN=1， 設(shè)直線PQ的方程為y=x+t，代入橢圓方程并化簡得：3x2+4tx+2t2﹣6=0
由題意可知 ，利用韋達(dá)定理可計(jì)算
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí)，掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：．