Question

11．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點為F₁（-1，0），離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（Ⅱ）過橢圓焦點F的直線l交橢圓于A、B兩點．
（1）若F是右焦點，y軸上一點M（0，$\frac{1}{3}$）滿足|MN|=|MB|，求直線1斜率k的值；
（2）若F是左焦點，設(shè)過點F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線1交橢圓于A，B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點G，求點G的橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點為F₁（-1，0），離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求出c，a，從而可求b，即可求橢圓的方程；
（Ⅱ）（1）設(shè)直線的方程為y=k（x-1），聯(lián)立直線與橢圓的方程，可得AB的中點坐標(biāo)，確定AB的中垂線方程，利用|MA|=|MB|，即可求直線l的斜率k的值．
（2）利用AB的中垂線方程，由此能求出點G橫坐標(biāo)的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點為F₁（-1，0），離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴c=1，a=$\sqrt{2}$，
∴b=1，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1；
（Ⅱ）（1）已知F₂（1，0），設(shè)直線的方程為y=k（x-1），A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
聯(lián)立直線與橢圓的方程，化簡得：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0
∴x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，y₁+y₂=-$\frac{2k}{1+2{k}^{2}}$，
∴AB的中點坐標(biāo)為（$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，-$\frac{k}{1+2{k}^{2}}$）
①當(dāng)k≠0時，AB的中垂線方程為y+$\frac{k}{1+2{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$）
∵|MA|=|MB|，∴點M在AB的中垂線上，將點M的坐標(biāo)代入直線方程得：$\frac{1}{3}$+$\frac{k}{1+2{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（0-$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$），
即2k²-3k+1=0，解得k=1或$\frac{1}{2}$；
②當(dāng)k=0時，AB的中垂線方程為x=0，滿足題意
∴斜率k的取值為0，1或$\frac{1}{2}$；
（2）由（1）AB的中垂線方程為y+$\frac{k}{1+2{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$）
令y=0，得x_G=x₀+ky₀=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4{k}^{2}+2}$
∵k≠0，∴-$\frac{1}{2}$＜x_G＜0
∴點G橫坐標(biāo)的取值范圍為（-$\frac{1}{2}$，0）．

點評 本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．