Question

過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦點F（-c，0）（c＞0），作圓x²+y²=

a2

4

的切線，切點為E，延長FE交雙曲線右支于點P，若

OP

=2

OE

-

OF

，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A、

  10

• B、

  10

  5

• C、

  10

  2

• D、

  2

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設右焦點為F′，由

OP

=2

OE

-

OF

，可得E是PF的中點，利用O為FF'的中點，可得OE為△PFF'的中位線，從而可求PF′、PF，再由勾股定理得出關于a，c的關系式，最后即可求得離心率．

解答： 解：設右焦點為F′，則
∵

OP

=2

OE

-

OF

，
∴

OP

+

OF

=2

OE

，
∴E是PF的中點，
∴PF′=2OE=a，
∴PF=3a，
∵OE⊥PF，
∴PF′⊥PF，
∴（3a）²+a²=4c²，
∴e=

c

a

=

10

2

，
故選：C．

點評：本題主要考查雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應用，考查拋物線的定義，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．