（本小題滿分12分）
如圖所示的幾何體是由以正三角形為底面的直棱柱
被平面所截而得． ，為的中點．
（Ⅰ）當時，求平面與平面的夾角的余弦值；
（Ⅱ）當為何值時，在棱上存在點，使平面？

（1）分別取、的中點、，連接、．

以直線、、分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，，則、、的坐標分別為（1，0，1）、（0，，3）、（-1，0，4），
∴=（-1，，2），=（-2，0，3）
設(shè)平面的法向量，
由得
，可取      
平面的法向量可以取           
∴        
∴平面與平面的夾角的余弦值為．
（2）在（1）的坐標系中，，=（-1，，2），=（-2，0，-1）．
因在上，設(shè)，則

∴
于是平面的充要條件為
                                
由此解得，          
即當=2時，在上存在靠近的第一個四等分點，使平面．
略
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在正方體中，點是的中點．
(1) 求與所成的角的余弦值；
(2) 求直線與平面所成的角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知矩形ABCD所在平面，PA=AD=，E為線段PD上一點，G為線段PC的中點.
（1）當E為PD的中點時，求證：
（2）當時，求證：BG//平面AEC.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，BC1與平面BB1D1D所成角為（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．120°

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

四棱錐P—ABCD中，ABCD為矩形，△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD⊥面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分別為PC和BD的中點．
（1）求證：EF∥面PAD；
（2）求證：面PDC⊥面PAB；

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四面體中，，點分別是棱 的中點。
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求證：四邊形為矩形；

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

下列命題中錯誤的是（ ）.
A．若，則
B．若，，則
C．若，，，則
D．若，=AB，//，AB，則

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

如圖正四面體ABCD，E為棱BC上的動點，則異面直線BD和AE所成角的余弦值的范圍為 _______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，三棱錐中，底面，，，為的中點，點在上，且.
（1）求證：平面平面；
（2）求平面與平面所成的二面角的平面角（銳角）的余弦值.

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