Question

已知某幾何體的直觀圖和三視圖如下圖所示，其正視圖為矩形，側(cè)視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形．

（1）證明：BN⊥平面C1B1N；

（2）求二面角的正弦值

Answer 1

（1）證明見解析（2）

【解析】

試題分析：（1）由三視圖還原為空間幾何體的實(shí)際形狀時(shí)，要從三視圖綜合考慮，根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實(shí)線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線.在還原空間幾何體的實(shí)際形狀時(shí)，一般以正視圖和俯視圖為主，結(jié)合側(cè)視圖進(jìn)行綜合考慮；（2）證明線面垂直的方法：一是線面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性質(zhì)定理；三是平行線法（若兩條平行線中的一條垂直于這個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面.解題時(shí)，注意線線、線面與面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化.（3）利用已知的線面垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算.其中靈活建系是解題的關(guān)鍵，把向量夾角的余弦值轉(zhuǎn)化為兩平面法向量夾角的余弦值;（4）空間向量將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算，應(yīng)用的核心是要充分認(rèn)識(shí)形體特征，建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，實(shí)施幾何問題代數(shù)化.同時(shí)注意兩點(diǎn)：一是正確寫出點(diǎn)、向量的坐標(biāo)，準(zhǔn)確運(yùn)算；二是空間位置關(guān)系中判定定理與性質(zhì)定理?xiàng)l件要完備.

試題解析：（1）證明：由題意：該幾何體的正視圖其正視圖為矩形,側(cè)視圖為等腰直角三角形,俯視圖為直角梯形.

則

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,

以B為原點(diǎn)，BA為x軸，BB1為Y軸，BC為Z軸建立空間直角坐標(biāo)系

可得二平面的法向量。則所求值為.

考點(diǎn)：（1）三視圖（2）線面垂直（3）二面角.