Question

18．已知f（x）=ax²-e^x．
（I）若函數(shù)f（x）在定義域上恒單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，求證：x₁+x₂＞2．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由原函數(shù)遞減，得出導(dǎo)函數(shù)小于0恒成立．
（2）設(shè)h（x）=f′（x），由兩個(gè)極值點(diǎn)，通過當(dāng)a≤0，a＞0，判斷函數(shù)的極值點(diǎn)有2個(gè)的條件，從而求出a的范圍．

解答 解：（1）f′（x）=2ax-e^x．
f′（x）＜0恒成立．
2ax-e^x＜0．
x=0時(shí)顯然成立；
當(dāng)x＞0時(shí)，
2ax＜e^x．
可得a＜$\frac{{e}^{x}}{2x}$．
令g（x）=$\frac{{e}^{x}}{2x}$．
g′（x）=$\frac{{e}^{x}•2x-2{e}^{x}}{（2x）^{2}}$=$\frac{2{e}^{x}（x-1）}{（2x）^{2}}$．
令g′（x）=0，x=1．
當(dāng)x＜1時(shí)，g（x）單調(diào)遞減．
當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）單調(diào)遞增．
g（x）_min=g（1）=$\frac{e}{2}$．
即有a$＜\frac{e}{2}$．
x＜0時(shí)，a＞$\frac{{e}^{x}}{2x}$恒成立，
由g′（x）＜0，可得g（x）遞減，可得a≥0．
綜上可得0≤a＜$\frac{e}{2}$；
（2）f′（x）=2ax-e^x
令h（x）=f′（x）．則x₁，x₂是方程h（x）=0的兩個(gè)根．
h′（x）=2a-e^x．
①a≤0時(shí)，h′（x）＜0恒成立，h（x）單調(diào)遞減．方程h（x）=0不可能有兩個(gè)根．
②a＞0時(shí)，由h′（x）=0，得x=ln2a．
當(dāng)x∈（-∞，ln2a）時(shí)，h′（x）＞0．h（x）單調(diào)遞增．
當(dāng)x∈（ln2a，+∞）時(shí)，h′（x）＞0．h（x）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)h（x）_max＞0時(shí)，方程h（x）才有兩個(gè)根．
∴h（x）_max=h（ln2a）=2aln2a-2a＞0．
得a$＞\frac{e}{2}$．
∵f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)為x₁，x₂
∴f′（x）=0的兩個(gè)根為x₁，x₂
即2ax=e^x有兩個(gè)根，
a=$\frac{{e}^{x}}{2x}$有兩個(gè)不同的根為x₁，x₂
令g（x）=$\frac{{e}^{x}}{2x}$，
則g′（x）=$\frac{2{e}^{x}（x-1）}{4{x}^{2}}$
g（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∵當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，g（x）≤0，
故不妨設(shè)x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞）
對(duì)任意a₁，a₂∈（$\frac{e}{2}$，+∞），設(shè)a₁＞a₂
g（m₁）=g（m₂）=a₁
g（n₁）=g（n₂）=a₂
其中0＜m₁＜1＜m₂
0＜n₁＜1＜n₂
∵g（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
∵g（m₁）＞g（n₁）
g（m₂）＞g（n₂）
∴$\left\{\begin{array}{l}{{m}_{1}＜{n}_{1}}\\{{m}_{2}＞{n}_{2}}\end{array}\right.$，
∴$\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}}$＞$\frac{{n}_{2}}{{n}_{1}}$，
∴$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$隨a的減小而減小．
令t=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$
$\left\{\begin{array}{l}{2a{x}_{1}={e}^{{x}_{1}}}\\{2a{x}_{2}={e}^{{x}_{2}}}\end{array}\right.$，可化為：x₂-x₁=lnt，（t＞1）
則x₁=$\frac{lnt}{t-1}$，x₂=$\frac{tlnt}{t-1}$，
∴x₁+x₂=$\frac{（t+1）lnt}{t-1}$
令h（t）=$\frac{（t+1）lnt}{t-1}$，
則可證明h（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
故x₁+x₂隨著t的增大而增大，
即x₁+x₂隨著$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$的增大而增大，
而當(dāng)a=$\frac{e}{2}$時(shí)，x₁+x₂=2
故x₁+x₂＞2

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的極值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．