Question

某種項目的射擊比賽，開始時在距目標100米處射擊，如果命中記3分，且停止射擊； 若第一次射擊未命中，可以進行第二次射擊，但目標已經(jīng)在150米處，這時命中記2分，且停止射擊； 若第二次仍未命中，還可以進行第三次射擊，此時目標已在200米處，若第三次命中則記1分，并停止射擊； 若三次都未命中，則記0分．已知射手甲在100米處擊中目標的概率為

1

2

，他的命中率與目標的距離的平方成反比，且各次射擊都是獨立的．
（Ⅰ）求這名射手分別在第二次、第三次射擊中命中目標的概率及三次射擊中命中目標的概率；
（Ⅱ）設這名射手在比賽中得分數(shù)為ξ，求隨機變量ξ的概率分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）記第一、二、三次射擊命中目標分別為事件A、B、C，三次均未命中目標的事件為D，設在x米處擊中目標的概率為P（x），則P(x)=

k

x2

，根據(jù)射手甲在100米處擊中目標的概率為

1

2

求出k的值，從而求出P（B）、P（C），由于各次射擊都是獨立的，所以該射手在三次射擊擊中目標的概率為P=P(A)+P(

.

A

B)+P(

.

A

.

B

C)，可求出所求；
（Ⅱ）設射手甲得分為ξ，ξ取值可能為0，1，2，3，分別求出相應的概率，列出分布列，最后根據(jù)數(shù)學期望的公式解之即可．

解答：解：（Ⅰ）記第一、二、三次射擊命中目標分別為事件A、B、C，三次均未命中目標的事件為D．
依題意P(A)=

1

2

．
 設在x米處擊中目標的概率為P（x），則P(x)=

k

x2

，
由x=100m時P(A)=

1

2

，所以

1

2

=

k

1002

，k=5000，P(x)=

5000

x

，…（2分）
∴P(B)=

5000

1502

=

2

9

，P(C)=

5000

2002

=

1

8

，…5 分
由于各次射擊都是獨立的，所以該射手在三次射擊擊中目標的概率為P=P(A)+P(

.

A

B)+P(

.

A

.

B

C)，
即P=P(A)+P(

.

A

)P(B)+P(

.

A

)P(

.

B

)P(C)
=

1

2

+

1

2

×

2

9

+

1

2

×

7

9

×

1

8

=

95

144

． …（8分）
（Ⅱ）依題意，設射手甲得分為ξ，ξ取值可能為0，1，2，3則
P(ξ=3)=

1

2

，
P(ξ=2)=

1

2

×

2

9

=

1

9

，
P(ξ=1)=

1

2

×

7

9

×

1

8

=

7

144

，
P(ξ=0)=P(D)=P(

.

A

)P(

.

B

)P(

.

C

)=

1

2

×

7

9

×

7

8

=

49

144

所以ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	49 144	7 144	1 9	1 2

所以Eξ=3×

1

2

+2×

1

9

+1×

7

144

+0×

49

144

=

85

48

．…（12分）

點評：本題主要考查了相互獨立事件的概率乘法公式，以及離散型隨機變量的期望，同時考查了計算能力，屬于中檔題．