Question

在平面直角坐標系中,已知點和,圓是以為圓心,半徑為的圓,點是圓上任意一點，線段的垂直平分線和半徑所在的直線交于點.

（1）當點在圓上運動時，求點的軌跡方程；

（2）已知，是曲線上的兩點，若曲線上存在點，滿足（為坐標原點），求實數的取值范圍.

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）由題意知知|QF|=|QP|，所以|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=|EP|=＞|EF|=2，由橢圓定義法知，Q點的軌跡是以E，F為焦點實軸長的橢圓，求出，寫出點Q的軌跡方程；（2）設出M、N點坐標和直線MN方程，代入曲線T的方程，整理成關于x的二次方程，利用根與系數關系將，用參數表示出來，利用判別式大于0列出關于參數的不等式，再利用題中的向量條件用參數把P點坐標表示出來，代入曲線T的方程，得出關于參數的等式，代入判別式得到關于的不等式，求出的范圍.

試題解析:（1）點在線段的垂直平分線上，則，又，

則，故可得點的軌跡方程為.

（2）令經過點的直線為，則的斜率存在，設直線的方程為，

將其代入橢圓方程整理可得

設，則，故

（1）當時，點關于原點對稱，則

（2）當時，點不關于原點對稱，則

由，得，故

則，因為在橢圓上，故

化簡，得，又，故得 ①

又，得 ②

聯立①②兩式及，得，故且

綜上（1）（2）兩種情況，得實數的取值范圍是.

考點：1.橢圓定義與標準方程；2.直線與橢圓的位置關系；3.運算求解能力.