Question

已知函數(shù)，（）.

（1）若有最值，求實數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時，若存在、，使得曲線在與處的切線互相平行，求證：.

 

Answer 1

（1）；（2）證明過程詳見解析.

【解析】

試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計算、利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、基本不等式等基礎(chǔ)知識，考查分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生的計算能力、轉(zhuǎn)化能力和邏輯推理能力.第一問，先對求導(dǎo)，再討論方程的判別式，第一種情況，第二種情況且，第三種情況且，數(shù)形結(jié)合判斷函數(shù)在定義域上是否有最值；第二問，由于在與處的切線互相平行，所以2個切線的斜率相等，得到關(guān)系式，利用基本不等式和不等式的性質(zhì)證明結(jié)論.

試題解析：（1），

由知，

①當(dāng)時，，在上遞增，無最值；

②當(dāng)時，的兩根均非正，因此，在上遞增，無最值；

③當(dāng)時，有一正根，在上遞減，在上遞增；此時，有最小值；

所以，實數(shù)的范圍為. 7分

（2）證明：依題意：，

由于，且，則有

. 12分

考點：1.導(dǎo)數(shù)的計算；2.利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程；3.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值；4.基本不等式.