Question

1．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若對任意p₁（x₁，y₁）∈M，均存在p₂（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，則稱集合M為“優(yōu)越集”，給出下列集合：
①M(fèi)=$\left\{{（x，y）\left|{y=\frac{1}{x}}\right.}\right\}$
②M={（x，y）|y=lnx}
③M={（x，y）|y=-x²+1}
④M={（x，y）|（x-2）²+y²=1}
⑤M={（x，y）|x²-2y²=1}
其中所有“優(yōu)越集”的序號是②③．

Answer 1

分析 根據(jù)“優(yōu)越集”的定義逐個(gè)驗(yàn)證即可得到答案．

解答 解：x₁x₂+y₁y₂=0⇒$\overrightarrow{O{P}_{1}}⊥\overrightarrow{O{P}_{2}}$，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），即OP₁⊥OP₂．若集合M里存在兩個(gè)元素P₁，P₂，使得OP₁⊥OP₂，
則集合M是“優(yōu)越集”，否則不是．
對于①：任意兩點(diǎn)與原點(diǎn)連線夾角小于90°或大于90°，
集合M里不存在兩個(gè)元素P₁，P₂，使得OP₁⊥OP₂，
則集合M不是“優(yōu)越集”；
對于②：如圖，函數(shù)y=lnx的圖象上存在兩點(diǎn)A，B，使得OA⊥OB．所以M是“優(yōu)越集”；
對于③：函數(shù)的圖象上存在兩點(diǎn)A（0，1），B（1，0），使得OA⊥OB．所以M是“優(yōu)越集”；
對于④：切線方程為y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，夾角為60°，集合M里不存在兩個(gè)元素P₁，P₂，使得OP₁⊥OP₂，則集合M不是“優(yōu)越集”；
對于⑤：雙曲線x²-2y²=1的漸近線方程為y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，兩條漸近線的夾角小于90°，集合M里不存在兩個(gè)元素P₁，P₂，使得OP₁⊥OP₂，則集合M不是“優(yōu)越集”，
故答案為：②③．

點(diǎn)評 本題考查了命題真假的判斷與應(yīng)用，考查了元素與集合的關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，解答的關(guān)鍵是對新定義的理解，是中檔題．