已知橢圓上三點(diǎn)A（x1，y1），B（4，y2），C（x3，y3）和焦點(diǎn)F（4，0）的距離依次成等差數(shù)列．
①求x1+x3；
②求證線段AC的垂直平分線過(guò)定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】分析：①根據(jù)橢圓的性質(zhì)，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與其到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離之比等于e，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為A、B、C三點(diǎn)右準(zhǔn)線的距離成等差數(shù)列，表示出這三個(gè)距離，由等差關(guān)系轉(zhuǎn)化成等式即可化簡(jiǎn)出結(jié)論．
②由點(diǎn)差法得出直線AC的斜率與其中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，再由垂直得出其垂線的斜率，由點(diǎn)斜式得出中垂線方程，發(fā)現(xiàn)其為一過(guò)定點(diǎn)的直線，得出此坐標(biāo)即可．
解答：解：①根據(jù)橢圓的性質(zhì)，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與其到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離之比等于e，
由A、B、C和焦點(diǎn)F（4，0）的距離依次成等差數(shù)列，可得A、B、C三點(diǎn)右準(zhǔn)線的距離成等差數(shù)列；
即|-x1|+|-x3|=2|-4|；
又由-5≤x1、x3≤5＜；
化簡(jiǎn)可得x1+x3=8
②設(shè)直線AC的斜率為k，則AC中點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，t），將A（x1，y1），C（x3，y3）代入橢圓的方程，
故有
兩者作差得=0，故得，即k=-，故t=-
又其垂直平分線的斜率為，故垂直平分線方程為y-t=（x-4）即y+=（x-4）故有y=（x-4+）=（x-）
即中垂線方程為y=（x-）
∴過(guò)定點(diǎn)
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的應(yīng)用，考查了橢圓的第二定義以及直線與橢圓相交進(jìn)常用的點(diǎn)差法用坐標(biāo)表示直線的斜率，中垂線方程的求法，及過(guò)定點(diǎn)的直線方程定點(diǎn)的求法，本題很抽象，綜合性較強(qiáng)，涉及到了多個(gè)解題的技巧，是橢圓中的一個(gè)難題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知⊙M經(jīng)過(guò)點(diǎn)F1（0，-c），F(xiàn)2（0，c），A（
3
c，0）三點(diǎn)，其中c＞0．
（1）求⊙M的標(biāo)準(zhǔn)方程（用含c的式子表示）；
（2）已知橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)（其中a2-b2=c2）的左、右頂點(diǎn)分別為D、B，⊙M與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A、C，且A點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)，C點(diǎn)在D點(diǎn)右側(cè)．
①求橢圓離心率的取值范圍；
②若A、B、M、O、C、D（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）依次均勻分布在x軸上，問(wèn)直線MF1與直線DF2的交點(diǎn)是否在一條定直線上？若是，請(qǐng)求出這條定直線的方程；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖：已知橢圓A，B，C是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓上三點(diǎn)，點(diǎn)A是長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)，BC過(guò)橢圓的中心O，且
AC
•
BC
=0，|
BC
|=2|
AC
|．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）如果橢圓上兩點(diǎn)P，Q使得直線CP，CQ與x軸圍成底邊在x軸上的等腰三角形，是否總存在實(shí)數(shù)λ使
PQ
=λ
AB
？請(qǐng)給出證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)過(guò)點(diǎn)C(
3
2
，
3
2
)且離心率為
6
3
，A、B是長(zhǎng)軸的左右兩頂點(diǎn)，P為橢圓上意一點(diǎn)（除A，B外），PD⊥x軸于D，若
PQ
=λ
QD
，λ∈(-1，0)．
（1）試求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）P在C處時(shí)，若∠QAB=2∠PAB，試求過(guò)Q、A、D三點(diǎn)的圓的方程；
（3）若直線QB與AP交于點(diǎn)H，問(wèn)是否存在λ，使得線段OH的長(zhǎng)為定值，若存在，求出λ的值；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：南通模擬 題型：解答題

平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知⊙M經(jīng)過(guò)點(diǎn)F1（0，-c），F(xiàn)2（0，c），A（
3
c，0）三點(diǎn)，其中c＞0．
（1）求⊙M的標(biāo)準(zhǔn)方程（用含c的式子表示）；
（2）已知橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)（其中a2-b2=c2）的左、右頂點(diǎn)分別為D、B，⊙M與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A、C，且A點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)，C點(diǎn)在D點(diǎn)右側(cè)．
①求橢圓離心率的取值范圍；
②若A、B、M、O、C、D（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）依次均勻分布在x軸上，問(wèn)直線MF1與直線DF2的交點(diǎn)是否在一條定直線上？若是，請(qǐng)求出這條定直線的方程；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2013年全國(guó)名校高考數(shù)學(xué)模擬試卷1（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖：已知橢圓A，B，C是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓上三點(diǎn)，點(diǎn)A是長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)，BC過(guò)橢圓的中心O，且．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）如果橢圓上兩點(diǎn)P，Q使得直線CP，CQ與x軸圍成底邊在x軸上的等腰三角形，是否總存在實(shí)數(shù)λ使？請(qǐng)給出證明．

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