Question

8．已知向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$滿(mǎn)足$|{\overrightarrow a}|=2，|{\overrightarrow b}|=1，|{\overrightarrow a-2\overrightarrow b}|≤2$，則$\overrightarrow b$在$\overrightarrow a$上的投影的取值范圍是（　　）

• A． $[{\frac{1}{2}，2}]$
• B． $（{\frac{1}{2}，2}）$
• C． $[{\frac{1}{2}，1}]$
• D． $（{\frac{1}{2}，1}）$

Answer 1

分析 根據(jù)條件可求出$\overrightarrow$在$\overrightarrow{a}$方向上的投影為$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$，并且對(duì)$|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow|≤2$兩邊平方，進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算便可得出cos$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$的取值范圍，即得出$\overrightarrow$在$\overrightarrow{a}$上的投影的取值范圍．

解答 解：$\overrightarrow$在$\overrightarrow{a}$上的投影為：$|\overrightarrow|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$=$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$；
由$|\overrightarrow{a}|=2，|\overrightarrow|=1$，對(duì)$|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow|≤2$兩邊平方得：
${\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow+4{\overrightarrow}^{2}=4-8cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞+4≤4$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞≥\frac{1}{2}$；
∴$\frac{1}{2}≤cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞≤1$；
即$\frac{1}{2}≤|\overrightarrow|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞≤1$；
∴$\overrightarrow$在$\overrightarrow{a}$上的投影的取值范圍是$[\frac{1}{2}，1]$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 考查一個(gè)向量在另一個(gè)向量方向上投影的定義及計(jì)算公式，向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，以及不等式的性質(zhì)．