Question

已知數(shù)列{a_n}的各項都是正數(shù)，且滿足：a=1，a_n+1=（4-a_n），n∈N．
（1）證明a_n＜a_n+1＜2，n∈N；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）先看當n=1時，根據(jù)題設(shè)求得a₁，進而可知a＜a₁＜2；再假設(shè)n=k時有a_k-1＜a_k＜2．通過a_k-a_k+1=（a_k-1-a_k）（4-a_k-1-a_k）．根據(jù)a_k-1＜a_k＜2．進而證明原式，綜合這兩個方面，證明命題正確．
（2）整理a_n+1=4-a_n得，2（a_n+1-2）=-（a_n-2）²，令b_n=a_n-2，代入2（a_n+1-2）=-（a_n-2）²整理求得b_n，進而求得
a_n．
解答：解：（1）1°當n=1時，a=1，a₁=（4-a）=，
∴a＜a₁＜2，命題正確．
2°假設(shè)n=k時有a_k-1＜a_k＜2．
則n=k+1時，a_k-a_k+1=（4-a_k-1）-（4-a_k）
=2（a_k-1-a_k）-（a_k-1²-a_k²）
=（a_k-1-a_k）（4-a_k-1-a_k）．
而a_k-1-a_k＜0.4-a_k-1-a_k＞0，∴a_k-a_k+1＜0．
又a_k+1=（4-a_k）=[4-（a_k-2）²]＜2
∴n=k+1時命題正確．
由1°、2°知，對一切n∈N時有a_n＜a_n+1＜2．
（2）a_n+1=（4-a_n）=[-（a_n-2）²+4]，
所以2（a_n+1-2）=-（a_n-2）²
令b_n=a_n-2，則b_n=-=-=-•=-，
又b_n=-1，所以b_n=-，即a_n=2+b_n=2-．
點評：本題主要考查了數(shù)列的遞推式以及用數(shù)學歸納法解決問題的能力．