Question

已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓的離心率為，橢圓上異于長軸頂點(diǎn)的任意點(diǎn)與左右兩焦點(diǎn)、構(gòu)成的三角形中面積的最大值為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知點(diǎn)，連接與橢圓的另一交點(diǎn)記為，若與橢圓相切時(shí)、不重合，連接與橢圓的另一交點(diǎn)記為，求的取值范圍.

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）先利用已知條件列舉出有關(guān)、、的方程組，結(jié)合三者之間滿足的勾股關(guān)系求出、、的值，從而確定橢圓的方程；（2）設(shè)直線與的方程分別為以及，將兩條直線方程與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理得到點(diǎn)與點(diǎn)之間的關(guān)系（關(guān)于軸對稱），從而得到兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，最后將利用點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行表示，注意到坐標(biāo)的取值范圍，然后利用二次函數(shù)求出的取值范圍.

（1）由題可知：，，

解得：，，，

故橢圓的方程為：；

（2）不妨設(shè)、、，

由題意可知直線的斜率是存在的，故設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為

的方程為： 代入橢圓方程，得

，，

將，代入解得：，

的方程為：代入橢圓方程，得

，，

將，，代入解得：，

，又、不重合，，

，

.

考點(diǎn)：1.橢圓的方程；2.直線與橢圓的位置關(guān)系；3.二次函數(shù)；4.向量的數(shù)量積