Question

設(shè)函數(shù)f（x）=sinx+cosx，若0≤x≤2012π，則函數(shù)f（x）的各極值之和為（　　）

• A．

  2

• B．-

  2

• C．0
• D．

  2

  n（n∈N，且n＞1）

Answer 1

分析：先求出其導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)得到其單調(diào)區(qū)間以及其極值點(diǎn)，進(jìn)而求出其極值；再利用等比數(shù)列的求和公式求出函數(shù)f（x）的各極值之和即可．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=sinx-cosx，
∴f′（x）=（sinx-cosx）′=cosx-sinx，
∵x∈（2kπ+

π

4

，2kπ+

5π

4

）時(shí)，f′（x）＜0，x∈（2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

）時(shí)，f′（x）＞0，
∴x∈（2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

）時(shí)原函數(shù)遞增，x∈（2kπ+

π

4

，2kπ+

5π

4

）時(shí)，原函數(shù)遞減，
故當(dāng)x=kπ+

π

4

時(shí)，f（x）取極值，
其極值為f（kπ+

π

4

）=sin（kπ+

π

4

）-cos（kπ+

π

4

）=0
又0≤x≤2012π，
∴函數(shù)f（x）的各極值之和S=0+0+0+…+0=0
故答案為 C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值以及等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用．在求函數(shù)的極值時(shí)，須注意極值兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)值符號(hào)相反