Question

8．定義在R上的奇函數(shù)y=f（x）滿足f（4）=0，且當(dāng)x＞0時，不等式f（x）＜xf′（x）恒成立，則函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$+e^|x|-1的零點的個數(shù)為2．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得f（0）=0=f（4）=f（-4），令函數(shù)h（x）=$\frac{f（x）}{x}$，分析可得h（x）為偶函數(shù)，當(dāng)x＞0時，對其求導(dǎo)分析可得h′（x）＞0，即可得x＞0時，函數(shù)h（x）是增函數(shù)，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)分析可得x＜0時，h（x）是減函數(shù)，結(jié)合題意，即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，y=f（x）是R上的奇函數(shù)，
則有f（0）=0，且f（-x）=-f（x），
又由f（x）滿足f（4）=0，
則有f（0）=0=f（4）=f（-4），
令函數(shù)h（x）=$\frac{f（x）}{x}$，h（-x）=$\frac{f（-x）}{-x}$=$\frac{f（x）}{x}$=h（x），
∴h（x）是偶函數(shù)，
又x＞0時，f（x）＜xf'（x）恒成立，
即xf'（x）-f（x）＞0恒成立，
對于函數(shù)h（x），則有h′（x）＞0，
則x＞0時，函數(shù)h（x）是增函數(shù)，
故x＜0時，h（x）是減函數(shù)，
函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$+e^|x|-1的零點，
即h（x）與y=1-e^|x|的交點，
畫出函數(shù)的圖象，如圖所示：

結(jié)合函數(shù)圖象得到h（x）與y=1-e^|x|的交點有2個，
即函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$+e^|x|-1的零點的個數(shù)為2個，
故答案為：2．

點評 本題考查函數(shù)零點個數(shù)的判定，涉及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，注意函數(shù)的單調(diào)性的充分應(yīng)用．