Question

3．某校一個(gè)校園景觀的主題為“托起明天的太陽(yáng)”，其主體是一個(gè)半徑為5米的球體，需設(shè)計(jì)一個(gè)透明的支撐物將其托起，該支撐物為等邊圓柱形的側(cè)面，厚度忽略不計(jì)．軸截面如圖所示，設(shè)∠OAB=α．（注：底面直徑和高相等的圓柱叫做等邊圓柱．）
（1）用α表示圓柱的高；
（2）實(shí)踐表明，當(dāng)球心O和圓柱底面圓周上的點(diǎn)D的距離達(dá)到最大時(shí)，景觀的觀賞效果最佳，試求出OD最大值，并求出此時(shí)α的值．

Answer 1

分析 （1）作OM⊥AB于點(diǎn)M，利用直角三角形OAM的∠OAB=α求出AM，得到圓柱的高；
（2）由余弦定理表示出OD，根據(jù)正弦函數(shù)的有界性得到所求．

解答 解：（1）作OM⊥AB于點(diǎn)M，則在直角三角形OAM中，
因?yàn)椤螼AB=α，
所以AM=OAcosα=5cosα，
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是等邊圓柱的軸截面，
所以四邊形ABCD為正方形，
所以AD=AB=2AM=10cosα．----------------（6分）
（2）由余弦定理得：$O{D^2}={5^2}+{（10cosα）^2}-2×5×（10cosα）cos（\frac{π}{2}+α）$
=25+100cos²α+50sin2α
=25+50（1+cos2α）+50sin2α
=50（sin2α+ccos2α）+75
=50$\sqrt{2}$sin（2$α+\frac{π}{4}$）+75----------------（10分）
因?yàn)?α∈（0，\frac{π}{2}）$，所以$2α∈（\frac{π}{4}，\frac{5π}{4}）$，
所以當(dāng)2$α+\frac{π}{4}=\frac{π}{2}$，即$α=\frac{π}{8}$時(shí)，OD²取得最大值$50\sqrt{2}+75=25（\sqrt{2}+1）{\;}^2$，
所以當(dāng)$α=\frac{π}{8}$時(shí)，OD的最大值為$5（\sqrt{2}+1）$．
答：當(dāng)$α=\frac{π}{8}$時(shí)，觀賞效果最佳．----------------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解三角形在實(shí)際中的應(yīng)用；關(guān)鍵是建立OD的表達(dá)式，利用三角函數(shù)性質(zhì)求最值．