Question

如圖，AB是單位圓的直徑，在AB上任取一點(diǎn)D，作DC⊥AB，交圓周于C，若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，0），若線段AD，BD，CD可構(gòu)成銳角三角形的三邊，則x的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理

專題：解三角形

分析：由單位圓直徑為2，OD=x，表示出AD與BD，連接OC，利用勾股定理表示出CD，分別利用余弦定理表示出三個(gè)角的余弦值，根據(jù)三角為銳角確定出x的范圍即可．

解答： 解：∵D（x，0），即OD=|x|，
∴AD=|-1-x|，BD=|1-x|，CD=

1-x2

，
設(shè)線段AD，BD，CD可構(gòu)成銳角三角形的三角分別為α，β，γ，
∴cosα=

(1-x)2+1-x2-(x+1)2

2|1-x| 1-x2

＞0，
即（1-x）²+1-x²-（x+1）²＞0，
整理得：x²+4x-1＜0，
解得：-2-

5

＜x＜-2+

5

；
同理，由cosβ=

(x+1)2+1-x2-(1-x)2

2|-1-x| 1-x2

＞0，cosγ=

(x+1)2+(1-x)2-(1-x2)

2|-x-1||1-x|

＞0，
分別得到x²-4x-1＜0，3x²+1＞0（恒成立），
解得：2-

5

＜x＜2+

5

，
綜上，x的范圍為（2-

5

，

5

-2）．
故答案為：（2-

5

，

5

-2）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，以及余弦函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．