Question

某產(chǎn)品在一個生產(chǎn)周期內(nèi)的總產(chǎn)量為100t，平均分成若干批生產(chǎn)．設(shè)每批生產(chǎn)需要投入固定費用75元，而每批生產(chǎn)直接消耗的費用與產(chǎn)品數(shù)量x的平方成正比，已知每批生產(chǎn)10t時，直接消耗的費用為300元（不包括固定的費用）．
（1）若每批產(chǎn)品數(shù)量為20t，求此產(chǎn)品在一個生產(chǎn)周期的總費用（固定費用和直接消耗的費用）．
（2）設(shè)每批產(chǎn)品數(shù)量為xt，一個生產(chǎn)周期內(nèi)的總費用y元，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出y的最小值．

Answer 1

考點：函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意得300=10²k，可得k=3，由題意可得總費用；
（2）若每批產(chǎn)品數(shù)量為xt，則需

100

x

批，從而可得y=75•

100

x

+

100

x

•3x2（0＜x＜100），利用基本不等式可求得y的最小值；

解答： 解：（1）設(shè)每批生產(chǎn)直接消耗的費用為w元，則w=kx²，由題意得300=100k，k=3，
當(dāng)x=20時，w=3×20²=1200，共5批，總費用為75×5+1200×5=6375元；
（2）若每批產(chǎn)品數(shù)量為xt，則需

100

x

批，

y=75• 100 x + 100 x •3x2= 7500 x +300x(0＜x＜100) ≥2 7500 x •300x =3000，且當(dāng) 7500 x =300x， 即x=5時y取得最小值，最小值為3000元．

點評：該題考查函數(shù)解析式的求解、基本不等式的應(yīng)用，考查學(xué)生解決實際問題的能力．