△ABC的三邊a,b,c滿足等式acosA+bcosB=ccosC,則此三角形必是( )
A.以a為斜邊的直角三角形
B.直角三角形
C.等邊三角形
D.其它三角形
【答案】分析:先利用正弦定理把題設(shè)等式中的邊換成角的正弦,利用和差化積公式和二倍角公式化簡(jiǎn)整理求得cos(A-B)=cosC,進(jìn)而利用三角形內(nèi)角和求得90°的內(nèi)角,判斷出三角形為直角三角形.
解答:解:由正弦定理可知a=2rsinA
b=2rsinB
c=2rsinC
代入acosA+bcosB=ccosC,得sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC
sin2A+sin2B=2sinCcosC
即2sin(A+B)cos(A-B)=2sinCcosC
sin(A+B)=sin(180-C)=sinC
∴cos(A-B)=cosC
∴A-B=C或B-A=C
所以A=B+C或B=A+C
∴A=90°或B=90°.
所以是直角三角形故選B.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了正弦定理的運(yùn)用以及三角形形狀的判斷.解題的關(guān)鍵是利用正弦定理把等式的邊轉(zhuǎn)化成角的問(wèn)題,利用三角函數(shù)的基本關(guān)系解決問(wèn)題.