Question

【題目】在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，，平面，平面與平面所成的角為45°，是的中點(diǎn).

（1）證明：平面平面；

（2）求異面直線與所成角的余弦值；

（3）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）（3）

【解析】

（1）根據(jù)線面垂直可以得出，結(jié)合菱形的性質(zhì)，可以得到，進(jìn)而得出平面，依據(jù)面面垂直判定定理可得結(jié)果.

（2）取中點(diǎn)，根據(jù)平移找到異面直線與所成角，計(jì)算長(zhǎng)度，利用余弦定理可得結(jié)果.

（3）找到平面的垂線并計(jì)算垂線段長(zhǎng)度，并計(jì)算直線在平面的投影的長(zhǎng)度，結(jié)合三角函數(shù)可得結(jié)果.

（1）證明：∵平面，∴，

又∵菱形中，且，

∴平面，∴平面平面；

（2）取中點(diǎn)連接，如圖所示：

∴//，

∴與所成角為或其補(bǔ)角，

∵菱形中，

∴，且，

∵平面，∴，，

，又∵

∴平面，∴，

∴二面角的平面角為

∴中，；

∴中，∴；

中，

∴中，，

即與所成角余弦值為

（3）作延長(zhǎng)線于，則平面

又∵平面平面，且平面平面，

∴平面，

∴與平面所成角為即

∵中，∴

∴中，，

，

即直線與平面所成角的正弦值為