14.已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)的短軸長(zhǎng)為2,焦距是短軸的$\sqrt{2}$倍.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線y=kx+2( k≠0)與橢圓交于C、D兩點(diǎn),|CD|=$\frac{{6\sqrt{2}}}{5}$,求k的值.

分析 (1)由橢圓短軸長(zhǎng)為2,焦距是短軸的$\sqrt{2}$倍,列出方程組,求出a=$\sqrt{3}$,b=1,c=$\sqrt{2}$,由此能求出橢圓方程.
(2)將y=kx+2代入$\frac{{x}^{2}}{3}$+y2=1,得(1+3k2)x2+12kx+9=0,由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式,能求出直線的斜率.

解答 解:(1)∵橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)的短軸長(zhǎng)為2,焦距是短軸的$\sqrt{2}$倍.
∴$\left\{\begin{array}{l}{2b=2}\\{2c=2\sqrt{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$,解得a=$\sqrt{3}$,b=1,c=$\sqrt{2}$,
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$+y2=1.
(2)設(shè)C(x1,y1)﹑D(x2,y2),將
y=kx+2代入$\frac{{x}^{2}}{3}$+y2=1
整理得(1+3k2)x2+12kx+9=0
∵直線y=kx+2( k≠0)與橢圓交于C、D兩點(diǎn),|
∴△=(12k)2-36(1+3k2)>0  ①
∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{12k}{1+3{k}^{2}}$,${x}_{1}{x}_{2}=\frac{9}{1+3{k}^{2}}$,
∴丨CD丨=$\sqrt{(1+{k}^{2})[(-\frac{12k}{1+3{k}^{2}})^{2}-4×\frac{9}{1+3{k}^{2}}]}$=$\frac{6\sqrt{2}}{5}$,
整理得7k4-12k2-27=0,即(7k2+9)(k2-3)=0,
解得  k2=-$\frac{9}{7}$(舍去)或k2=3,即k=$±\sqrt{3}$,
經(jīng)驗(yàn)證,k=±$\sqrt{3}$使①成立,故k=$±\sqrt{3}$為所求.

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法,考查直線的斜率的求法,考查橢圓、直線方程、根的判別式、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方思想,是中檔題.

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