Question

已知圓O′：（x-3）²+y²=4的圓心為O′，點(diǎn)A（-3，0），M是圓上任意一點(diǎn)，線段AM的中垂線l和直線O′M相交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q的軌跡方程為（　　）

• A．

  x2

  8

  +y2=1
• B．x2-

  y2

  8

  =1(x＞0)
• C．

  x2

  8

  -y2=1(x＞0)
• D．x2+

  y

  8

  =1

Answer 1

分析：由題意畫出圖形，通過把Q到A和O′的距離轉(zhuǎn)化，得到Q點(diǎn)的軌跡為橢圓，然后直接由雙曲線定義得方程．

解答：解：如圖，聯(lián)結(jié)QA，由于Q在AM的中垂線上，有|QA|=|QM|，
則|QA|-|QO′|=|QM|-|QO′|=|O′M|．
O′M是⊙O′的半徑，|O′M|=2．
所以Q到A、O′的距離之差為定值，軌跡為雙曲線，
雙曲線的焦點(diǎn)是A、O′，中心是AO′中點(diǎn)
由于A（-3，0），O′（3，0），
所以c=3，a=1．
則b²=a²-c²=8．
則雙曲線的方程是：x2-

y2

8

=1．
即Q的軌跡方程為 x2-

y2

8

=1（x＞0）．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了與直線有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，考查了雙曲線的定義，利用線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．