(2012•嘉定區(qū)三模)如圖,角θ的始邊OA落在x上軸,其始邊、終邊分別與單位圓交于點A、C(0<θ<
π
2
),△AOB為等邊三角形.
(1)若點C的坐標為(
4
5
,
3
5
),求cos∠BOC的值;
(2)設(shè)f(θ)=|BC|2,求函數(shù)f(θ)的解析式和值域.
分析:(1)由題意可得,∠BOC=θ+
π
3
,因為點C的坐標為(
4
5
,
3
5
),求得sinθ=
3
5
和cosθ 的值,再利用兩角和的余弦公式求得cos∠BOC=cos(θ+
π
3
) 的值.
(2)在△BOC中,由余弦定理,求得 f(θ )=2-2cos(θ+
π
3
),根據(jù) 0<θ<
π
2
,利用余弦函數(shù)的定義域和值域求得f(θ)的值域.
解答:解:(1)由題意可得,∠BOC=θ+
π
3
,因為點C的坐標為(
4
5
,
3
5
),
所以,sinθ=
3
5
,cosθ=
4
5
.…(3分)
所以,cos∠BOC=cos(θ+
π
3
)=
4
5
×
1
2
-
3
5
×
3
2
=
4-3
3
10
.…(6分)
(2)在△BOC中,由余弦定理,BC2=OB2+OC2-2OB•OC•cos∠BOC,…(7分)
所以,f(θ )=2-2cos(θ+
π
3
 ).…(10分)
因為 0<θ<
π
2
,所以
π
3
<θ+
π
3
6
,…(11分)
所以,f(θ)∈(1,2+
3
).…(13分)
因此,函數(shù)f(θ )=2-2cos(θ+
π
3
) (0<θ<
π
2
),即f(θ)的值域是(1,2+
3
).(14分)
點評:本題主要考查余弦定理的應(yīng)用,兩角和的余弦公式,余弦函數(shù)的定義域和值域,屬于中檔題.
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