Question

某商店投入81萬(wàn)元經(jīng)銷某種濟(jì)南全運(yùn)會(huì)特許紀(jì)念品，經(jīng)銷時(shí)間共60天，市場(chǎng)調(diào)研表明，該商店在經(jīng)銷這一產(chǎn)品期間第幾天的利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元，n∈N*）為了獲得更多的利潤(rùn)，商店將每天獲得利潤(rùn)投入到次日的經(jīng)營(yíng)中，記第n天的利潤(rùn)，例如：．
（Ⅰ）求b₁，b₂的值；
（Ⅱ）求第幾天的利潤(rùn)率b_n；
（Ⅲ）該商店的經(jīng)銷此紀(jì)念品期間，哪一天的利潤(rùn)最大？并求該日的利潤(rùn)率．

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，；當(dāng)n=2時(shí)，，
（Ⅱ）當(dāng)1≤n≤20時(shí)，a₁=a₂=a₃=…=a_n-1=a_n=1．
∴．
當(dāng)21≤n≤60時(shí)，=
∴第n天的利潤(rùn)率
（Ⅲ）當(dāng)1≤n≤20時(shí)，是遞減數(shù)列，此時(shí)b_n的最大值為；
當(dāng)21≤n≤60時(shí)，，
（當(dāng)且僅當(dāng)，即n=40時(shí)，“=”成立）
又∵∴當(dāng)n=40時(shí)，．
∴該商店經(jīng)銷此紀(jì)念品期間，第40天的利潤(rùn)率最大，且該日利潤(rùn)為．
分析：（Ⅰ）按照bn的表達(dá)式，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可．
（Ⅱ）按照bn的表達(dá)式進(jìn)行代入數(shù)值求解，注意分子、分母表達(dá)式的變化，需對(duì)n進(jìn)行分類討論．
（Ⅲ）利用數(shù)列的單調(diào)性及均值不等式法去求bn的最大值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和綜合運(yùn)用，具有一定的難度，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化和分類討論思想的運(yùn)用