Question

【題目】已知為橢圓（）的一個焦點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，且，△的面積為。

（1）求橢圓的離心率；

（2）若，過點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，求點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）可通過橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為、、三式聯(lián)立求得，再與解得橢圓離心率。

（ 2）首先可以通過第一小題得出橢圓方程，再設(shè)出直線的方程,與橢圓聯(lián)立解得的值，再設(shè)出線段中點(diǎn)坐標(biāo)為，最后求得點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍。

（1）設(shè)橢圓的焦半距為，左焦點(diǎn)為，因?yàn)?/span>所以

由橢圓的對稱性可知四邊形為矩形， ，

所以 ，

得，由消去上式的得，

即，橢圓C的離心率 ，

（2）因?yàn)?/span>的坐標(biāo)為，由（1）中，所以，

，橢圓的方程為，

設(shè)直線的斜率為，直線不與坐標(biāo)軸垂直故，

直線的方程為 ，

將方程與橢圓方程聯(lián)立得： 消得：，

由韋達(dá)定理得：，設(shè)線段中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，

則垂直平分線的方程為。令，點(diǎn)橫坐標(biāo)為：

，

因?yàn)?/span>，所以，

故點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍為：。